Schwarz Lema, puntos fijos pregunta

Question

Esto es de un antiguo examen de calificación de la pregunta.

Si f es holomorphic en la unidad de disco $D$ $|f(z)|<1$ todos los $z\in D$. Supongamos también que $f$ tiene dos puntos fijos en el $D$ $f(z)=z$ por cada $z\in D$

Sé que tengo que usar el Schwarz lema y se puede hacer uso de las transformaciones de Möbius. Traté de establecimiento $g(z)=\phi_a\circ f\circ \phi_{-a}$. Pero eso no parece funcionar porque no veo por qué no $|g(z)|=|z|$ para algunos no cero $z$.

Cualquier sugerencias útiles son muy apreciados.

Edit: por supuesto, el $a$ anterior es uno de los puntos fijos.

Answer 1

Sugerencia: Deje $b$ ser el otro punto fijo de $f$. Qué sucede cuando usted aplica $g$$\phi_a(b)$?

He aquí una solución completa. Deje $a$ $b$ ser los distintos puntos fijos de $f$ y deje $\varphi$ ser la conformación automorphism del disco envío de $a$$0$, recordar

$$\varphi(z)=\frac{z-a}{1-\bar{a}z}.$$

En particular, no es difícil comprobar que $g=\varphi\circ f \circ \varphi^{-1}$ corrige $0$. También tenemos

$$ g(\varphi(b))=\varphi[f(\varphi^{-1}[\varphi(b)])]=\varphi(f(b))=\varphi(b)$$

por Schwar z lema $g(z)=cz$. Ahora $\varphi(b)\neq 0$ desde $\varphi(a)=0$ lo $g(z)=z$, en particular, esto le da a ese $\phi^{-1}=f \circ \phi^{-1}$ $f$ debe ser la identidad en el disco.