Schauder de base para una de Banach separable espacio

Question

Es sabido que si un espacio de Banach $X$ tiene una base de Schauder, a continuación, $X$ es separable. Por otro lado P. Enflo mostró que existe una Banach separable espacio sin base de Schauder.

Si $X$ es separable espacio de Banach, entonces podemos encontrar un aumento de la secuencia de finito dimensionales subespacios $X_n\subset X$ tal que $\cup X_n$ es denso en $X$, por lo tanto, podemos encontrar una secuencia $(x_n)$, de tal manera que $x_1,...,x_k$ es una base de $X_k$ todos los $k$.

Mi pregunta es: ¿Qué es una condición necesaria (y tal vez suficiente) con el fin de mostrar que el $(x_k)$ es una base de Schauder para $X$?

Answer 1

Una de las condiciones necesarias y suficientes para una contables linealmente independientes del sistema de vectores $(e_n)$ a ser un Shauder base de su cerrado lineal span es $$ \existe K>0\quad \forall (a_n)\subconjunto \mathbb{C}\quad \forall n\in\mathbb{N}\quad\forall m\leq n\quad\left\Vert\sum\limits_{k=1}^m a_k e_k\right\Vert\leq K\left\Vert \sum\limits_{k=1}^n a_k e_k\right\Vert $$ Ver la Proposición 1.1.9 en los Temas en el espacio de Banach de la teoría de F. Albiac, N. Kalton