Cuando hace un subgrupo normal contienen precisamente una no-identidad de clase conjugacy?

Question

Cada subgrupo normal $N$ de un grupo de $G$ es una unión de clases conjugacy. Ya que cada subgrupo contiene la identidad, y la identidad está en una clase por sí mismo, cada subgrupo normal ya que contiene la clase conjugacy de la identidad.

Por eso, cuando es un subgrupo normal consta de exactamente dos clases conjugacy?

$N = \{1\} \cup \mathcal K$

Aquí es lo que veo hasta ahora:

1. A menos $|N|=2$$N \leq Z(G)$, el subgrupo debe tener trivial intersección con el centro, ya que cada elemento en el centro se encuentra en su propia clase conjugacy.
2. Desde $|\mathcal K|$ es el índice de la centralizador $C_G(k)$ cualquier $k\in\mathcal K$, e $|G:C_G(k)| = |N|-1$ divide $|G|$, tenemos que G es divisible por el producto de $|N|(|N|-1)$ de dos números consecutivos. Esto también implica $|G|$ es incluso.

Cualquier interior automorphism corrige $N$, pero yo no sé acerca de exterior automorfismos, por lo $N$ no tiene que ser una característica de los subgrupos.

¿Cuál es la caracterización completa de estos tipos de subgrupos normales? ¿Tienen importantes propiedades?

Edit: Ted es correcta.

Answer 1

Todos los grupos finitos. La siguiente es una vieja resultado de Wielandt, creo.

La proposición: un subgrupo $N$ debe ser de una escuela primaria abelian $p$-grupo, y cada una de las primarias abelian $p$-grupo es un subgrupo de un grupo determinado $G$.

Prueba: Si dos elementos de la $G$ son conjugado, entonces tienen el mismo orden. Por lo tanto cada elemento de identidad de $N$ tiene el mismo orden. La orden no puede ser compuesto desde $g^a$ orden $b$ si $g$ orden $ab$. Por lo tanto $N$ $p$- grupo. El colector de un subgrupo de $N$ es característico en $N$ y tan normal en $G$. De ahí que sea todo de $N$ o sólo $1$; sin embargo, en una no-identidad $p$-grupo el colector de subgrupo es siempre una adecuada subgrupo. En particular, $N$ es abelian y cada elemento tiene orden de $p$.

Ahora supongamos tan elemental grupo abelian $N$ es dado. Deje $G=\operatorname{AGL}(1,p^n)$ el conjunto de transformaciones afines de la uno-dimensional espacio vectorial $K$ sobre el campo de $K$ $p^n$ elementos. Que es $G$ se compone de todos los $\{ f : K \to K :x \mapsto \alpha x + \beta ~\mid~ \alpha,\beta \in K, \alpha \neq 0 \}$. Entonces cada elemento de identidad de $N=K_+=\{ f : K \to K : x \mapsto x + \beta ~\mid ~ \beta \in K \}$ es conjugado en $K^\times = \{ f : K \to K : x \mapsto \alpha x ~\mid~ \alpha \in K, \alpha \neq 0 \}$. Por lo tanto la prueba está completa. $\square$.

Answer 2

Su punto (1) no puede ser correcta, como se desprende de
$$G=A_4\,\,,\,N:=\{(1)\,,\,(12)(34)\,,\,(13)(24)\,,\,(14)(23)\}$$ Aquí, $\,N\lhd G\,$ , de hecho, $\,N\cap Z(G)=1\,$ (que no es gran cosa como el centro de esta alternancia de grupo es trivial), sino $\,N\,$ es el Sylow $\,2-\,$ subgrupo de $\,A_4\,$ .

El número 2 es, en mi opinión, correcta.