En todos los libros de texto sobre teoría de conjuntos ZF me encuentro con el axioma de extensionalidad, que básicamente dice que si dos conjuntos tienen los mismos elementos, entonces esos dos conjuntos son iguales: $$\forall x \forall y (\forall z(z\in x \iff z\in y)\Rightarrow x=y)$$ Pero, ¿por qué se hace de esta afirmación un axioma? Seguramente parece una definición sencilla, porque sólo se basa en la noción primitiva de pertenencia, las conectivas lógicas y los cuantificadores. ¿Qué me falta aquí?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Es cierto que diferentes autores han sugerido que la extensionalidad se siente más cerca de un axioma lógico que de otra cosa, y puede ser vista como definir igualdad en términos de afiliación. La cuestión es entonces si esto es realmente inocuo.
Esto fue considerado seriamente por Dana Scott, en
Dana S. Scott. Más sobre el axioma de extensionalidad , en Ensayos sobre los fundamentos de las matemáticas dedicado al Prof. A. H. Fraenkel en su 70º cumpleaños, Magnes Press, Universidad Hebrea, Jerusalén, 1961, pp. 115-131. MR0163838 (29 #1137) .
Scott considera la teoría de conjuntos de Zermelo $\mathsf{Z}$ el sistema estándar de Zermelo-Fraenkel $\mathsf{ZF}$ y sus variantes $\mathsf{Z}^{\ne}$ y $\mathsf{ZF}^{\ne}$ donde no se asume la extensionalidad. Recordemos que en $\mathsf{Z}$ no asumimos la sustitución. (La formulación precisa de estas teorías tiene algunas advertencias técnicas menores, véase la sección 1 del documento).
Scott muestra:
1. Existe una interpretación relativa de $\mathsf{Z}$ dentro de $\mathsf{Z}^{\ne}$ .
2. Existe una interpretación relativa de $\mathsf{ZF}^{\ne}$ dentro de $\mathsf{Z}$ .
La importancia de estos resultados radica en que, por supuesto, no existe esa interpretación de $\mathsf{ZF}$ en $\mathsf{Z}$ ya que de hecho $\mathsf{ZF}$ demuestra la consistencia de $\mathsf{Z}$ . Por otro lado, 1 y 2 muestran que las teorías $\mathsf{Z}$ , $\mathsf{Z}^{\ne}$ y $\mathsf{ZF}^{\ne}$ son equiconsistentes. Esto demuestra que la eliminación de la extensionalidad en realidad debilita significativamente el alcance de la teoría de conjuntos, y nos deja con una teoría de consistencia considerablemente menor.
Otra cuestión diferente es si esto afectaría a la práctica matemática, ya que la mayor parte de las matemáticas "clásicas" no requieren sustitución de todos modos (por lo que pueden llevarse a cabo en $\mathsf{Z}$ y por lo tanto en $\mathsf{Z}^{\ne}$ ). Sin embargo, creo que este argumento ya no se sostiene (si es que alguna vez lo hizo), ya que grandes porciones de las matemáticas "modernas" utilizan y necesitan un reemplazo de forma rutinaria (y por lo tanto las debilidades de $\mathsf{ZF}^{\ne}$ con respecto a $\mathsf{ZF}$ se convierten ahora en asuntos de gran interés).
DanV
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Queremos conectar los dos símbolos de relación básicos, $\in$ y $=$ . El axioma de extensionalidad nos dice que si dos conjuntos son distintos, entonces hay algún testigo de ello en el universo. Consideremos el ejemplo muy rebuscado $\{\varnothing,\{a\}\}$ , con los habituales $\in$ . El elemento $a$ no está en el universo de este ejemplo, por lo que no puede discernir internamente entre $\varnothing$ y $\{a\}$ .
Hurkyl
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Supongamos que el conjunto $S$ contiene el elemento $a$ y ningún otro elemento.
Supongamos que el conjunto $T$ contiene el elemento $a$ y ningún otro elemento.
¿Deben ser iguales estos conjuntos? Si lo crees, entonces tendrás que usar la extensionalidad para argumentar como tal: es la sólo axioma de ZFC que permite inferir que dos conjuntos son iguales.
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No lo hace cada ¿la fórmula de ZFC sólo se basa en la pertenencia, las conectivas lógicas y los cuantificadores?
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Pensé que ese era el punto, porque la igualdad es un nuevo predicado, por lo que parece a primera vista que la extensionalidad define un predicado en términos de primitivas en lugar de asumir un nuevo axioma sobre cómo se comportan los conjuntos en términos de las propias primitivas.