Suma de $\cos(k x)$

Question

Estoy tratando de calcular la suma trigonométrica : $$\sum\limits_{k=1}^{n}\cos(k x)$$

Esto es lo que he probado hasta ahora : $$\renewcommand\Re{\operatorname{Re}} \begin{align*} \sum\limits_{k=1}^{n}\cos(k x) &= \Re\left(\sum\limits_{k=1}^{n}e^{i k x}\right)\\ &= \Re\left(e^{i x}\frac{1 - e^{inx}}{1 - e^{ix}}\right) \end{align*}$$

¿Cómo puedo seguir?

Answer 1

Aquí tienes un enfoque ligeramente diferente al de André, puede que te resulte más fácil y menos propenso a errores (no implica denominadores comunes ni largas expansiones). También hay un truco útil en él, por lo que no es del todo desinteresado.

$$\begin{align} \sum_{k=1}^n \cos(kx) & = \Re\left(\sum_{k=1}^n e^{ikx}\right)\\ & = \Re\left(e^{ix} {e^{inx}-1 \over e^{ix}-1}\right) \\ & = \Re\left({e^{ix} e^{inx \over 2} \over e^{ix \over 2}} {e^{inx \over 2} - e^{-inx \over 2} \over e^{ix \over 2} - e^{-ix\over2}}\right)\\ & = \Re\left( e^{i(n+1)x \over 2} {\sin{nx\over2} \over \sin{x \over 2}}\right)\\ & = {\sin{nx\over2} \over \sin{x \over 2}} \cos\left({(n+1)x\over2}\right) \end{align}$$

El truco está entre las líneas 2 y 3, donde se factoriza por la exponencial de "medio ángulo" para que aparezca un seno. Como en la prueba de André, hay que distinguir el caso $e^{ix} = 1$ .

Answer 2

Expresar en términos de exponenciales complejos es un buen comienzo. Has utilizado $$\cos(kx)=\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}.$$ Ahora $\sum_{k=1}^n e^{ikx}$ es la suma de una serie geométrica finita, al igual que la suma de los demás términos. Así que nuestra suma es igual a $$\frac{1}{2}\left(\frac{e^{ix}(1-e^{inx})}{1-e^{ix}}+\frac{e^{-ix}(1-e^{-inx})}{1-e^{-ix}}\right).$$ Probablemente se espera que expreses las cosas en términos de funciones reales. Por lo tanto, llevar a un denominador común. En la parte inferior obtenemos $(1-e^{ix})(1-e^{-ix})$ . Si se multiplica esto y se reconoce que $e^{ix}+e^{-ix}=2\cos x$ , terminas con $2-2\cos x$ . Si te apetece, esto se puede simplificar en cierto modo utilizando la identidad $\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1$ .

Después de llevar las cosas a un denominador común, amplía la parte superior desordenada que obtienes. Es fácil, pero con amplias posibilidades de error. Los términos que obtienes se combinan muy bien en pares en (dos veces) cosenos, aparte de un par de términos que son cada uno simplemente $-1$ .

El cálculo anterior funciona cuando $1-e^{ix}\ne 0$ ( $\cos x\ne 1$ ). Para completar, tenemos que tratar el caso $\cos x=1$ . En ese caso la suma es $n$ .