Una pregunta relacionada con la función zeta de Riemann

Question

¿Alguien sabe por qué es correcta la siguiente afirmación?

Dejemos que $f(x)$ sea la función cuyo valor en el intervalo $m\pi<x<(m+1)\pi, m=0,1,2,\cdots$ es $(-1)^m\frac{\pi}{4}$ . Sea $0<s<1$ . Entonces $$\int_0^\infty x^{s-1}f(x)\,dx$$ representa una función analítica para $\Re s<1$ y es igual a $$2(1-2^{s+1})\zeta(1-s)$$ para $\Re s<0$ . Aquí $\zeta(\cdot)$ es la función zeta de Riemann.

Editar. Creo que ahora entiendo parcialmente la primera parte. Deja que $\alpha(x)$ sea la función definida por $$\int_0^x u(t)\,dt$$ donde $u(t)=(-1)^m$ en $[m\pi,(m+1)\pi], m=0,1,2,\cdots.$ Entonces la integral $\int_0^\infty x^{s-1}f(x)\,dx$ es igual a la integral de Riemann-Stieltjes $\frac{\pi}{4}\int_0^\infty x^{s-1}\,d\alpha$ . Para $0<s<1$ se puede escribir como $$\frac{\pi}{4}\left(\int_0^\pi x^{s-1}\,dx-\pi^s-(s-1)\int_{\pi}^\infty\frac{\alpha(x)}{x^{2-s}}\,dx\right),$$ que es analítica en $s$ para $0<\Re s<1$ .

Ahora necesito saber cómo hacerlo para $\Re s\le 0$ y cómo hacer que sea igual a $2(1-2^{s+1})\zeta(1-s)$ para $\Re s<0$ .

Answer 1

Nota: La Pb. 21 en Andrews-Askey-Roy contiene algunas erratas y está formulada de forma inexacta.

• La suma sobre $n$ debe comenzar a partir de $n=0$ y no de $1$ .

• Como habrá notado, la relación funcional para $\zeta$ en la 1ª línea del problema (correcta) no coincide con la relación (incorrecta) implícita en la pregunta (b). En concreto, en lugar de $\zeta(1-s)$ se debe tener $\zeta(-s)$ - esto es precisamente lo que se obtiene a continuación.

• en cuanto al prefactor $\frac{\pi^{1+s}}{2s}$ en mi fórmula, también debería estar ahí (compruébelo calculando las lhs en el problema AAR) si se quiere una relación funcional correcta para $\zeta$ .

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Por definición de $f$ , \begin{align}\int_0^{\infty}x^{s-1}f(x)dx&=\frac{\pi}{4}\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^m\int_{m\pi}^{(m+1)\pi}x^{s-1}dx. \end{align} Introduzca en lugar de esto $$F(a)=\frac{\pi}{4}\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^m\int_{ma}^{(m+1)a}x^{s-1}dx.$$ Diferenciación con respecto al parámetro $a$ tenemos \begin{align}\frac{\partial F}{\partial a}&=\frac{\pi a^{s-1}}{4}\left(1+\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^m\left[(m+1)^{s}-m^{s}\right]\right)=-\frac{\pi a^{s-1}}{2}\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^m m^s.\tag{1} \end{align} Recordemos que la parte "impar" de la Riemann $\zeta$ -La función se puede determinar a partir de $$\zeta(s)=\underbrace{\sum_{m=0}^{\infty}(2m+1)^{-s}}_{\zeta_{\mathrm{odd}}(s)}+\underbrace{2^{-s}\zeta(s)}_{\zeta_{\mathrm{even}}(s)}.$$ Pero nuestra suma en (1) es entonces sólo $$\zeta_{\mathrm{even}}(-s)-\zeta_{\mathrm{odd}}(-s)=\left(2^{1+s}-1\right)\zeta(-s).$$ A partir de esto, integrando (1) hacia atrás con respecto a $a$ teniendo en cuenta que $F(0)=0$ y el ajuste $a=\pi$ obtenemos $$F(\pi)=\frac{\pi^{1+s}}{2s}\left(1-2^{1+s}\right)\zeta(-s).$$