Si $\{f(0)\}^{2} + \{f'(0)\}^{2} = 4$, entonces hay un $c$ $f(c) + f''(c) = 0$

Question

Esta es la de Putnam:

Si una función $f: \mathbb{R} \to [-1, 1]$ es tal que $f''(x)$ existe para todas las $x \in \mathbb{R}$$\{f(0)\}^{2} + \{f'(0)\}^{2} = 4$, a continuación, probar que existe un punto de $c$ tal que $f(c) + f''(c) = 0$.

Ahora la condición sobre los valores de $f(0), f'(0)$ (y el hecho de que el rango de $f$ es subconjunto de a $[-1, 1]$) implica que $f'(0) \neq 0$, de modo que la función no es una constante. Si tomamos $g(x) = \{f(x)\}^{2} + \{f'(x)\}^{2}$, entonces podemos ver que $g' = 2f'(f + f'')$. Una esperanza de resolver el problema es demostrar que el $g$ alcanza extremos locales en algún punto diferente al de los extremos de $f$. Esto aseguraría que los $g'$ desaparece sin hacer $f'$ a desaparecer y que conducirá a $f + f'' = 0$. Sin embargo, la restricción de la $f(0), f'(0)$ no ayuda en el análisis de los extremos de $f$ o $g$.

Otra línea de pensamiento que podría ser útil aquí es considerar $F(x) = f'(x)\sin x - f(x)\cos x$, de modo que $F'(x) = \sin x\{f(x) + f''(x)\}$, pero en este caso no soy capaz de ver cómo el uso de la condición de los valores de $f(0), f'(0)$ a imponer alguna restricción en $F(x)$.

Tal vez ambos enfoques que vino a mi mente no están en la dirección correcta (o puede ser que son, pero soy incapaz de ver). Por favor proporcione sugerencias.

Actualización: se Basa en la respuesta por Sandeep Thilakan, he bajado el requisito para la continuidad de la $f''(x)$.

Answer 1

La solución que aquí se presenta no es la mía y ha sido reproducido de Alexanderson et al. La solución es una joya, ya que utiliza varios conceptos clave en el análisis.

Deje $G(x) = [f(x)]^2 + [f'(x)]^2$$H(x) = f(x) + f''(x)$. Desde $H$ es continua, basta para mostrar que no cambia de signo. Así, supongamos $H(x) > 0$ todos los $x$ o $H(x) < 0$ todos los $x$ y obtener una contradicción.

Desde $|f(0)| \leq 1$$G(0) = 4$, $f'(0) \geq \sqrt{3}$ o $f'(0) \leq -\sqrt{3}$. Vamos a mostrar para el caso en que $H(x) > 0$$f'(0) \geq \sqrt{3}$; los otros casos son similares.

Suponga que el conjunto de $S$ de positivos $x$ $f'(x) < 1$ es no vacío y deje $g$ ser el mayor límite inferior de $S$. A continuación, $f'(0) \geq \sqrt{3}$ y la continuidad de la $f'(x)$ implican $g > 0$. Ahora, $f'(x) \geq 0$ $H(x) \geq 0$ $0 \leq x \leq g$ de plomo a

$G(g) = 4 + 2 \int_{0}^{g} f'(x)[f(x) + f''(x)] dx \geq 4$

Desde $|f(g)| \leq 1$, esto implica $f'(g) \geq \sqrt{3}$. A continuación, la continuidad de la $f'(x)$ nos dice que hay un $a > 0$ tal que $f'(x) \geq 1$$0 \leq x < g+a$. Esto contradice la definición de $g$ y, por tanto, $S$ está vacía. Ahora $f'(x) \geq 1$ todos los $x$ y esto implica que $f(x)$ es ilimitado, contradiciendo $f(x) \leq 1$.