Número de raíces reales de $\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}=0$

Question

Probar el siguiente, sin la inducción. Es posible?

La ecuación de $\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}=0$ no tiene ninguna raíz real si $n$ es incluso.
Y si $n$ es impar, se tiene sólo una raíz real.

También he intentado buscar las pruebas muchas veces con la búsqueda de palabras clave "número de la real de la raíz" o "función exponencial" o "$\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}$". Pero fracasó. ¿Cuál es la forma de buscar los temas relacionados?

Answer 1

Tenga en cuenta que, $f'(x)+\frac{x^k}{k!}=f(x).$ Si $k$ es incluso y $x_0$ es el más pequeño de la raíz de $f,$$f'(x_0)<0.$, por Lo que inmediatamente después de $x_0$ $f(x)<0$ y la función disminuye. Por lo tanto, para que la función $f$ a tener su segundo cero, lo que se debe tener como un polinomio, incluso de grado (la multiplicidad de cada raíz es claramente uno tiene que aumentar. Sin embargo, si la función de $f$ aumenta en un punto, a continuación, $f(x)>0$ (sigue de nuestra identidad). Esto demuestra que nuestra suposición es incorrecta. Por eso, $f$ no tiene una raíz. Una vez que el caso está establecido, el extraño caso sigue de inmediato.

Answer 2

Considere la función $f(x)=\sum_{k=0}^{2n}\frac{x^{k}}{k!}$

Tenga en cuenta que $f'(x)+\frac{x^{2n}}{(2n)!}=f(x) \large \star$

Supongamos que existe un valor mínimo de la función(en$x=c$), a continuación,$f'(c)=0$.

De $\star$ $2n$ incluso $f(c)=\frac{c^{2n}}{(2n)!} \ge 0 \quad\forall c \in \mathbb{R}$ (a $c=0$ $f(0)=1$ y el valor de la función es positiva )

Por lo $ \large {\sum_{k=0}^{2n}\frac{x^{k}}{k!}}>0 \quad \forall x\in \mathbb{R}$

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Ahora, considere el caso de $f(x)=\sum_{k=0}^{2n+1}\frac{x^{k}}{k!}$
Tomando nota de que $f'(x)=\sum_{k=0}^{2n}\frac{x^{k}}{k!} >0$ la función es monótona sobre los números reales y el grado es impar, la función tiene exactamente una raíz.

Answer 3

Buscar "raíces de la exponencial truncada de la serie" en Google.

En particular, mira en http://demonstrations.wolfram.com/SzegoeCurve/.