El pensamiento de las matemáticas en términos de análogos de

Question

Creo que la manera en que he llegado a pensar acerca de las matemáticas es cada vez problemático y me pregunto si debo abandonar. Cuando estudio matemáticas, me encuentro tratando de comparar los conceptos matemáticos, operaciones, entidades, e incluso la terminología básica (la que he llegado a entender es increíblemente elegante, precisa y deliberada) en el mundo real, físico, incluso fenómenos visibles. Creo que bajo la pretensión de que las cosas que hago en el mundo matemático representar real, estructuras fundamentales en este Universo. Por ejemplo, el hecho de que los términos "cancelar" en una ecuación tiene profundas implicaciones sobre el funcionamiento del Universo y debe ser atendido y estudiado como tal.

En otras palabras, trato de hacer sentido de las cosas que aprendo en las clases de matemáticas por la búsqueda de sus análogos en el mundo real, porque supongo que debe tener al menos uno. El pensamiento de este estado de ánimo me ha llevado a apreciar las matemáticas desde un punto de vista profundo y bello camino, y es la mentalidad con la que trato de compartir con otras personas a la hora de explicar por qué las matemáticas debe ser estudiado y por qué la gente describe como hermoso. Cuando aprendo algo nuevo en una clase de matemáticas, yo trato de entender y recordar que estos no son simplemente tedioso ecuaciones y fórmulas que no significan nada y vienen de la nada, sino que han físico real y, sobre todo, el significado intuitivo.

Todo lo que se dijo, me estoy tomando mi primer revestimiento curso de álgebra de este término, y que cada vez es más difícil utilizar esta mentalidad, no sólo porque álgebra lineal ofertas con cosas tales como la dimensionalidad infinita que obviamente no tienen forma intuitiva de comprender o visualizar, pero realmente sólo porque la clase parece más acerca de la computación y cálculo de concepto y la filosofía.

Me preocupa que mi pensamiento me ha llevado por el mal camino, principalmente porque es difícil concentrarse en hacer simplemente pura, la fuerza bruta de cálculo sin preguntarse y preocuparse por lo que estos conceptos significan realmente. Esto me lleva a la zaga en la conferencia, tomar mas horas que es probable que sea necesario en la tarea, y añadir a un nivel general, de la frustración que ha sido la construcción de algún tiempo a causa de ella, que sólo nubes de mi entendimiento aún más.

Mi pregunta es, realmente, más de un motivo para el consejo. Debo abandonar mi manera de pensar sobre las matemáticas como si se volverá cada vez más ineficiente en futuros cursos y temas, o de álgebra lineal verdaderamente más sobre numérica de gimnasia de tangibles de la interpretación? Debería centrarse, en la actualidad, simplemente en el aprendizaje de los algoritmos para el cálculo ahora suponiendo que las bases filosóficas serán expuestos más adelante, después de que el trabajo conceptual que estoy buscando será el rendimiento de la misma?

Agradecería respuestas de la gente que frecuenta este sitio. He sido nada, pero abrumado en el nivel de calidad, el pensamiento y la sinceridad en las respuestas que he leído aquí y a través de las conversaciones que he espiado hasta ahora.

También, por favor me dirija a preguntas similares si sabes de alguna, y que me ayude con el marcado de esta pregunta, ya que es la primera que he pedido en este sitio.

Answer 1

No, no abandone a su amor de analogías y la búsqueda de conexiones con el "mundo real". Pero una advertencia: ser guiado por él, no estamos atados a ella.

Un poco más comentarios.

(1) álgebra Lineal puede ser presentado sevaral diferentes maneras: computacionalmente, conceptualmente, geometría, física, etc. Parece que he encontrado una discrepancia entre su curso y su personal estilo de aprendizaje. He aquí un post pidiendo recomendaciones de libros de texto: el Texto de la recomendación para la introducción al álgebra lineal. (Muchos de los libros de texto están disponibles de forma gratuita en internet, para navegar y en la muestra. Este enlace puede obtener su comenzado.)

(2) álgebra Lineal es especialmente rico con conexiones con el mundo real: tiene un fuerte contenido geométrico, muchas aplicaciones en campos como la física, la economía y la estadística, y una hermosa estructura conceptual. (Un libro como Hoffman y Kunze enfatiza esta estructura conceptual; Strang, el libro destaca las aplicaciones del mundo real, pero requiere un mayor enfoque computacional.)

(3) Pero álgebra lineal también ilustra el peligro de aferrarse demasiado fuerte para nuestro día a día a la intuición. Usted menciona dimensionalidad infinita. Este es un buen ejemplo. En primer lugar, a menos que vengas de otro universo, usted no puede realmente visualizar nada, a excepción de tres dimensiones. Álgebra lineal tiene su inicio (en el siglo xix), cuando la gente se dio cuenta de que la matemática funciona igual de bien con cualquier valor de $n$, aunque la interpretación visual exigencias $n\leq 3$.

Que nos lleva tan lejos como la teoría de finito-dimensional espacios vectoriales. (Espero que hayan visto la definición abstracta de un espacio vectorial en este punto en el curso.) En el siglo xx, los matemáticos se dieron cuenta de que muchos, pero no todos los resultados sobre finito-dimensional espacios vectoriales no dependen de la suposición de que el espacio tiene una base de $n$ vectores. Reconocieron que las matrices son sólo una forma de representar las transformaciones lineales, y que inmediatamente se dio cuenta de que las transformaciones lineales aparecen por todo el lugar, no sólo en un número finito de dimensiones de contexto.

En resumen, se aplica la analogía: finito-dimensional resultados sugieren más general de los resultados, pero no se puede ciegamente generalizar.

Cuando me entero de un nuevo resultado en álgebra lineal (o la topología, o en muchos otros campos), yo trato de encontrar un ejemplo de lo que puedo visualizar. A veces esto no funciona. Algunos de los resultados no se prestan para la visualización.

Así que mi consejo es: (a) aceptar su propio estilo de aprendizaje; (b) dedicar un poco de esfuerzo tratando de acomodar a (preguntas!); (c) cuando se ejecuta en un desajuste, no te golpeas la cabeza contra la pared.

Por último, un poco de algo desalentador (y apócrifos) consejo de von Neumann, uno de los más brillantes matemáticos del siglo 20: "Joven, en matemáticas no entender las cosas, que uno se acostumbra a ellos."

Answer 2

La tensión entre las siguientes reglas abstractas como en contra de la intuición ha estado presente en matemáticas durante siglos, si no mucho más. Desde la época de Newton y Leibniz a partir de las matemáticas se convirtieron en más algebraicas debido a que el cálculo. Por ejemplo, en el siglo xviii, el matemático Lagrange jugado un papel fundamental en el movimiento de distancia de distancia de los diagramas hacia ecuaciones.

La Mécanique analytique resume todo el trabajo realizado en el campo de la mecánica, desde la época de Newton y es notable por su uso de la teoría de ecuaciones diferenciales. Con este trabajo de Lagrange transformado mecánica en una rama del análisis matemático. Escribió en el Prefacio:-

"No se puede encontrar figuras en este trabajo. Los métodos que expongo no requieren ni construcciones, ni geométrica o mecánica argumentos, pero sólo operaciones algebraicas, sujeto a una regular y uniforme, por supuesto".

(fuente MacTutor history of mathematics)

Pero otros eminentes matemáticos estaban preocupados por perder sentido. Por ejemplo, el siglo xix Augustus de Morgan escribió

El poder de la matemática invención no es el razonamiento, sino de la imaginación.

Uno de mis favoritos matemática cita es debido a él. Él compara la solución de un problema matemático a la solución de un rompecabezas de una imagen de un mapa. Los matemáticos que seguir las reglas para pasar de una línea a la siguiente son como la gente que hacer una sierra de vaivén al revés, cuidando sólo de las formas de las piezas, sin consideración a la gran imagen debajo.

una persona que pone a uno de estos juntos por las espaldas de las piezas, y por lo tanto es guiado sólo por sus formas, y no por su significado, puede ser comparado con uno que hace que las transformaciones de álgebra por el definido por las leyes de operaciones: mientras que uno que se ve en los frentes, y convierte a su general conocimiento de los países pintado en uno de los más clase en particular mediante la ayuda de las formas de las piezas, más se asemeja a la del investigador y el matemático.

(ver, por ejemplo, las Matemáticas en la gran Bretaña Victoriana en la búsqueda de libros de google)

Yo no soy un talentoso matemático, a diferencia de algunos en este sitio, así que usted puede tomar mi experiencia personal con una pizca de sal. Sin embargo tengo una oferta de simpatía con su experiencia. A menudo he conseguido frustrado y empantanado cuando yo no podía entender la imagen en tamaño grande o tener una idea de lo que estaba pasando. Por ejemplo, hace algunos años me costó cuando estudié una de las ondas y la difusión del curso se presenta en un muy abstracta de la moda, y sólo "consiguió" cuando compré una Dover libro sobre ecuaciones en derivadas parciales para los Científicos y los Ingenieros. Si que suena una campana, entonces me animo a buscar libros, sitios web, herramientas y otros recursos para relacionar lo abstracto a lo práctico.

La segunda cosa que para mí es la que más me de estudio de la ciencia y las matemáticas, más me parece que son como un lenguaje. Yo una vez estudiado biología celular en gran profundidad, que es una infernal en términos de la memorización de hechos, y la intuición parecía en ninguna parte ser encontrado. Fue sólo una vez que yo había memorizado todo para el examen de que las cosas parecía que la ranura en el lugar y pude ver los patrones. Las matemáticas, aunque menos sobre el aprendizaje interminable resmas de los hechos, es, me parece, un poco como esa. Que han de hacer los ejercicios, la práctica de las ecuaciones, a aprender el vocabulario de la materia que están estudiando y, a continuación, sólo una vez que conozca el vocabulario, están en una posición para formar la intuición para conectar cosas juntos. Por eso hay que tener un poco de paciencia y la fe y el trabajo a través de la molienda de los cálculos en el conocimiento de que una vez que usted haya dominado las técnicas que usted estará en una posición para tener una comprensión intuitiva. A veces se necesita el vocabulario para ver la poesía.

Mi reflexión final es que hay grandes personas en todos los ámbitos de la vida que pensar de manera abstracta, y grandes personas que piensan de forma intuitiva. Lo importante es saber que ustedes son, conocer sus propias fortalezas y debilidades, encontrar lo que te gusta y lo que no, y de que usted necesita para hacer el último adaptarse en lugar de abandonar su enfoque.

Answer 3

Has escrito este post como una cuestión de liderazgo, usted conseguirá mucho demasiado bloomy respuestas. Mi consejo es buscar las motivaciones detrás de la introducción de este y ese es el concepto que - a sabiendas de que estos existan le permitirá concentrarse en el enchufe y chuck usted necesita para obtener sus respuestas.

Quiero añadir que no todo objeto matemático son cosas físicas - por ejemplo, las matemáticas de los juegos o la economía no trata con las "cosas del mundo", pero con los conceptos que se hacen a sí mismos. A menos que usted quiere argumentar que las reglas del ajedrez y compuesto los intereses son algo en el mundo. Mi punto es que el hecho de reglas casi nunca son arbitrarias, de lo contrario la gente no estaría interesado en publicaciones sobre estos temas. En cualquier caso, de todos los sujetos, diría que el álgebra lineal es aquella en la que la visualización es en realidad más fácil - se trata de una gran cantidad de la geometría y la transformación.

Answer 4

Álgebra lineal es de ninguna manera de cálculos sobre los conceptos. De hecho, hay un lugar preciso de la dicotomía que se aproxima a lo que entre los cálculos y los conceptos de álgebra lineal, es decir, que entre la matriz álgebra y la teoría de resumen transformaciones lineales. Es desde esta última perspectiva de álgebra lineal, más bien muestra su capacidad para expresar intuitiva de conceptos geométricos (simples ejemplos incluyen rotaciones y dilataciones del espacio o de líneas, planos y hyperplanes en el de mayores dimensiones en el espacio.) La descomposición teoremas como la forma normal de Jordan y la descomposición de valor singular también tienen fundamentalmente conceptual contenido, pero normalmente no se alcanzó hasta el final de un primer curso en el más simple de los casos, y un segundo curso para los más interesantes.

De manera más general, no creo que usted debe tratar de abstenerse de pensar acerca de las interpretaciones de los objetos matemáticos que cumplir, especialmente si usted está interesado en convertirse en un matemático. Creo que, en general (puro) que los matemáticos están muy interesados en los conceptos, y en muchos casos encontrar cálculos aburrido-es probable que se encontrará con menos en lugar de más, se centran en el cálculo como de continuar en matemáticas, aunque esto dependerá de los cursos que usted toma. Dicho esto, es casi tan peligroso tener muy poco de computación como demasiado, así que cuando te pregunte si usted debe considerar el aprendizaje de los algoritmos en sus cursos y confiando en que el contenido conceptual detrás de ellos se convertirá en el más adelante, la respuesta es probablemente "sí, por ahora." Es sin duda muy bien a preguntarle a la gente acerca de lo que las cosas que estamos trabajando media, incluso ahora, pero si te excesivamente atrapado en las preguntas que usted puede encontrar más adelante en la comprensión de álgebra lineal de forma intuitiva, pero pateando a sí mismo para no aprender cómo fila reducir y calcular los subespacios propios con fluidez cuando tuvo la oportunidad.

Answer 5

Álgebra lineal (y también el análisis funcional en cierta medida), son campos en los que todavía es posible tener interpretaciones geométricas. Transformaciones lineales (en particular, las matrices) puede representar reflexiones, rotaciones y cambios de escala que las transforman en vectores.

Se pierden algunas exacta interpretación gráfica al pasar de 2 - y 3-dimensional espacios vectoriales 4 - o 5-dimensional, o incluso infinito-dimensional espacios, pero tener una idea de lo que iba a suceder en 2d o 3d siempre me ha ayudado. Por ejemplo, me gusta ver la gráfica de una transformación lineal de $V$ $W$como una línea - con el eje x del espacio vectorial $V$, el eje y es el espacio vectorial $W$. Soy consciente de que en la mayoría de los casos, $V$ $W$ no son unidimensionales, sino que son, posiblemente, de dimensiones infinitas, pero la visualización de una proyección es mejor que no hay visualización en todos.