Esta pregunta viene de la geometría analítica punto de vista. Por favor, ignore el punto de vista de la geometría algebraica aquí, a menos que el punto de vista de alguna manera es capaz de manejar no-curvas algebraicas como $x \mapsto e^x$ etc. y creo que no lo es.
De acuerdo a mis 12 Años libros de texto de matemáticas, una asíntota es:
Una línea que se aproxima a una curva, pero no lo toque.
Con el beneficio de la moderna punto de vista, esta definición sólo se siente muy raras y el Siglo 18, por la siguiente razón: el enfoque de "curva" es ser de alguna manera "cerca de ti"; pero, de acuerdo a la definición anterior, si tenemos tan cerca de la curva que en realidad se cruzan , entonces, estamos "demasiado cerca" y ya no es una asíntota. Presumiblemente, esto no es deseable, y por tanto, el deseo es que los autores modernos no incluir esta condición en su definición de "asíntota."
Un momento de búsqueda en Google nos trae a la correspondiente página de la Wikipedia:
En geometría analítica, una asíntota de una curva es una línea tal que la la distancia entre la curva y la línea se aproxima a cero, ya que tienden hasta el infinito. Algunas fuentes incluyen el requisito de que la curva no pueden cruzar la línea infinitamente a menudo, pero esto es inusual para los autores modernos.
Bueno, este es, sin duda haciendo mucho más sentido. Pero, aún creo que pocas cosas se descompone. En primer lugar, existen diferentes definiciones de las curvas de mentir, y no son completamente consistentes. Así que vamos a deshacernos de cualquier mención de las curvas a todos. Obtenemos:
Deje $A$ denotar un subconjunto de a $\mathbb{R}^2$. A continuación, una asíntota de $A$ es una línea tal que la distancia entre el $A$ y la línea se aproxima a cero, ya que tienden a infinito.
Bien. Su todavía imprecisa. Aviso que no hemos dicho, el lector de lo que exactamente se aproxima a infinito. Hay al menos dos maneras de resolver esta ambigüedad, y el resultado es que dos fundamentalmente diferente de las nociones de "asíntota."
Asíntota, Grafo Versión. Deje $A$ denotar un subconjunto de a $\mathbb{R}^2$. A continuación, una asíntota de $A$ es una línea de $L \subseteq \mathbb{R}^2$ tal que para todos los $\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$ existe $r \in \mathbb{R}_{>0}$ tal que para todos los $l \in L$ si $d(l,0)>r$, entonces la distancia $d(l,A)$ es de menos de $\varepsilon$.
Por ejemplo, la función de $x \mapsto e^{-x^2}$ tiene precisamente una asíntota de acuerdo con esta definición. Y la función de $x \mapsto e^x$ no tiene asíntotas.
También hay otra posible manera de resolver la ambigüedad. En primer lugar, necesitamos un auxiliar definición.
Dirigido Línea. Una dirigida línea en $\mathbb{R}^2$ es una función de $c : [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}^2$ tal forma que:
- $c$ es inyectiva
- $c$ conserva combinaciones convexas: que es, para todos los $a,b \in [0,\infty)$ satisfacción $a+b=1,$ tenemos $c(ap+bq) = ac(p)+bc(q).$
Dos líneas dirigidas son iguales iff se cruzan en más de un punto.
Podemos entonces definir a la asíntota así:
Asíntota, Dirigida Versión. Deje $A$ denotar un subconjunto de a $\mathbb{R}^2$. A continuación, una asíntota de $A$ es dirigido línea de $c : [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}^2$ tal que para todos los $\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$ existe $t \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ tal que para todos los $t' \geq t$, la distancia $d(c(t'),A)$ es de menos de $\varepsilon$.
Por ejemplo, la ya mencionada función de $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $f(x)=e^{-x^2}$ tiene dos asíntotas de acuerdo con esta definición. Y la función de $x \mapsto e^x$ tiene precisamente una asíntota.
Ahora claramente, la definición de grafo es más fácil para el estado. Pero creo que el que la dirige es la más útil. De todos modos, mi pregunta es simple:
Pregunta. Cómo son las asíntotas de hecho definido en riguroso de las matemáticas?
No estoy sugiriendo que sólo puede haber una definición. Si múltiples definiciones son útiles, entonces me gustaría saber acerca de todos ellos. Gracias.
