Intrepretation de $H^i(X, \mathcal{O}_X) = 0$

Question

Deje $X$ ser un suave adecuado geométricamente integral variedad, más de un campo de característica cero (no se realizan suposiciones sobre la closedness del campo).

¿Cómo debo interpretar la fuga de $H^i(X, \mathcal{O}_X)$, para, digamos, $i = 1,2,3$?

Answer 1

Voy a asumir con el fin de no tener complicado declaraciones que $k$ es algebraicamente cerrado: su pregunta es bastante interesante, incluso bajo la hipótesis de que!

La racionalidad
Un suave racional variedad tiene todos los $H^i(X, O_X)=0$$i\gt0$.
Por lo que la fuga de uno de esos grupos es el de fuga de algunos de obstrucción a la racionalidad.
Por ejemplo:
Si $X$ es una curva, la racionalidad de $X$ es equivalente a $H^1(X, O_X)=0$.
Si $X$ es una superficie de Castelnuovo del criterio de racionalidad es la conjunción de $H^1(X, O_X)=0$$H^0(X, \omega^2_X)=0$.

Topología
Más de $\mathbb C$ Hodge teoría implica que $H^1(X, O_X)=\frac 1 2b_1(X)$, la mitad de la primera Betti número.
Por lo que la fuga de $H^1(X, O_X)$ es la desaparición de una obstrucción a $X$ ser simplemente conectado.
Por ejemplo, si $X$ es una curva tenemos:
$X$ simplemente conectado $\iff$ $H^1(X,\mathcal O_X)=0$ $\iff$ $X\cong \mathbb P^1$

Picard variedad
a) El espacio de la tangente en el origen de la Picard variedad de $X$$H^1(X,\mathcal O_X)$.
Así que si $H^1(X,\mathcal O_X)=0$ el grupo de Picard de la línea de paquetes en $X$ reduce a la Néron-Severi grupo y por lo tanto es un finitely generado abelian grupo.
Para un buen ejemplo, tomar una suave cúbicos de superficie en $\mathbb P^3_k$. Es racional y su Picard grupo es isomorfo a $\mathbb Z^7$.

b) La condición de $H^1(X, O_X)=0$ implica la hermosa fórmula válida para cualquier variedad $Y$: $$\operatorname {Pic}(X\times Y)=\operatorname {Pic}(X)\times \operatorname {Pic}(Y) $$ esta fórmula es completamente falso en general.