Encontrar entero de soluciones de la ecuación $$\underbrace{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}}}_{1000}=y$$ El primero que apareció en mi mente fue el infinitamente anidada radical y la recurrencia de la relación $$a_{n+1}=\sqrt{x+a_n}$$ Que me llevan a ninguna parte así que traté de mostrar que no hay ninguna tal $(x,y)$, excepto para el trivial $(0,0)$ creo que he demostrado que $$\sqrt{a_0}\leq a_{n}\leq \sqrt{a_0}+1$$ pero la prueba en sí era bastante vaga e incluso si es correcto no me ayuda.No tengo idea de qué otra cosa hacer,las sugerencias se agradece.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Si alguno de los $a_n$ no ser un número entero, entonces $a_{n+1}$ también fallará. Así proximidades de $x$ debe ser un cuadrado, por ejemplo, de $x=k^2$; y también $x+k= k(k+1)$ debe ser un cuadrado. Desde $\gcd(k,k+1)=1$, esto significa que $k$ y $k+1$, ambos deben ser cuadrados. Esto permite que sólo $k=0$.
MichaelChirico
Puntos
1545
Otro problema donde comenzando con la versión más simple del problema hace maravillas:
$\sqrt{x+\sqrt{x}}=y$
Necesitamos tanto $x+\sqrt{x}$ y $\sqrt{x}$ para ser cuadrados; di $x=k^2$, $k\in \mathbb{N}$.
Entonces $x+\sqrt{x}=k^2+k<(k+1)^2$, por lo que no puede ser un cuadrado perfecto.
La adopción de nuevas raíces cuadradas no va a remediar esto.
Samrat Mukhopadhyay
Puntos
11677
$$a_{n+1}-a_n=\frac{x}{\sqrt{a_n+x}+a_n}>0$$Para, $\{a_n\}$ es un aumento de la secuencia. Ahora, sabemos que $a_n\a \frac{1+\sqrt{1+4x}}{2}$ Observar que (Usted ya haya observado :-))$$\sqrt{x}+1-\frac{1+\sqrt{1+4x}}{2}=\frac{2\sqrt{x}+1-\sqrt{1+4x}}{2}=\frac{4\sqrt{x}}{(2\sqrt{x}+1+\sqrt{1+4x})}>0$$por Lo tanto $\forall n\ge 1$ $$\sqrt{x}<a_n\le \frac{1+\sqrt{1+4x}}{2} <\sqrt{x}+1$$ donde $a_0=\sqrt{x}$ Así que si $x$ es un cuadrado entero $a_n$ no puede ser un número entero. Si $x$ no es cuadrada, entonces $a_0=\sqrt{x}$ es irracional y, por tanto, la totalidad de los $a_n,\ n\ge 1$ son irracionales. Así que en cualquier caso, $a_n$ no puede ser un número entero.
mvw
Puntos
13437
Si asumimos $x, y \in \mathbb{N}_0$ y escribir la tarea como esta \begin{align} F_1 y= x \\ (*) \quad F_n y= x + \sqrt{F_{n-1}} \quad \left( n \in \{ 2, \ldots, 1000 \} \right) \\ F_{1000} &= y^2 \end{align} vemos que $F_{1000}$ debe ser un entero no negativo, porque $y$ es un número entero. Pero también $\sqrt{F_{999}}$, porque $$ F_{1000} = x + \sqrt{F_{999}} $$ y $F_{1000}$ y $x$ son números enteros. Si $\sqrt{F_{999}}$ es un número entero entonces $F_{999} = k_{999}^2$ para algún entero no negativo de $k_{999}$.
Por el mismo argumento $$ F_{n} \in \mathbb{N}_0 \Rightarrow \sqrt{F_{n-1}} \in \mathbb{N}_0 \Rightarrow F_{n-1} = k_{n-1}^2 \in \mathbb{N}_0 $$ para $n \in \{ 3, \ldots, 1000 \}$. Se desprende también de la primera ecuaciones anteriores que $\sqrt{F_1} = k_1 \in \mathbb{N}_0$.
Entre las plazas de $k_i^2$ la ecuación $(*)$ da la relación $$ k_i^2 = k_1^2 + k_{i-1} = 2 k_1^2 + k_{i-2} = (i-1) k_1^2 + k_1 $$ lo que da problemas ya para $$ k_2^2 = k_1^2 + k_1 = k_1(k_1 + 1) $$ porque $k_2 = k_1 = 0$ o $k_2$ tendría que ser la media geométrica de los números enteros de $k_1$ y $k_1 + 1$, que no es un número entero: $$ k_1 = \sqrt{k_1 k_1} < \sqrt{k_1(k_1+1)} < \sqrt{(k_1+1)(k_1+1)} = k_1 + 1 $$ Esto deja sólo la solución trivial $y = x = 0$.
Así que el buen $$ y = 999 k_1^2 + k_1 $$ no da nada interesante.
