Dos variedades afines no son isomorfas

Question

Dada la variedad afín $A:=Z(y^{2}-P(x)) \subset \mathbb{C} ^{2} $ donde $P(x)$ es un polinomio con $\deg P \geq 2$ necesito demostrar que $A$ no es isomorfo a $ \mathbb{C}$ .

Sé que tiene algo que ver con el número de singularidades, pero no conseguí demostrar que dos variedades con distinto número de singularidades no son isomorfas, e incluso que $A$ debe tener singularidades. Agradecería mucho una respuesta detallada.

Answer 1

Sea $k$ sea un campo de característica $\neq 2$ y $P \in k[X]$ con $k[X,Y]/(Y^2-P(X)) \cong k[T]$ . Afirmo que $\mathrm{deg}(P) =1$ .

Al tensar con un cierre algebraico, podemos suponer que $k$ es algebraicamente cerrado. Es evidente que $n:=\mathrm{deg}(P) \geq 1$ . Si $l$ es el coeficiente principal de $P$ entonces podemos utilizar el automorfismo $Y \mapsto \sqrt{l} \cdot Y$ de $K[Y]$ y reducir al caso $l=1$ . Escriba a $P=(X-a_1) \cdot \dotsc \cdot (X-a_n)$ para $a_i \in k$ . Podemos suponer que el $a_i$ son distintos por pares, porque de lo contrario $V(Y^2-P(X))$ es singular. Sea $\phi : k[X,Y]/(Y^2-P(X)) \to k[T]$ un isomorfismo de $k$ -álgebras. Está determinada por $g=\phi(X)$ y $f=\phi(Y)$ que satisfacen $f^2=P(g)=(g-a_1) \cdot \dotsc \cdot (g-a_n)$ . Ahora, $\phi$ induce un isomorfismo $$k[Y]/(Y^2) = k[X,Y]/(Y^2-P(X)) / (X-a_i) \cong k[T]/(g-a_i).$$ De ello se deduce que $g-a_i=\lambda_i (T-b_i)^2$ para algunos $\lambda_i \in k^*$ y $b_i \in k$ . Observe que $f$ está asociada a $(T-b_1) \cdot \dotsc \cdot (T-b_n)$ . Desde $\phi$ induce un isomorfismo $$k[X]/(P(X)) = k[X,Y]/(Y^2-P(X)) / (Y) \cong k[T]/(f),$$ el $b_i$ son distintos por pares. Por otro lado, $g=\lambda_i (T-b_i)^2+a_i = \lambda_i T^2 - 2 \lambda_i b_i T + \lambda_i b_i^2 + a_i$ no depende de $i$ . De ello se deduce que $\lambda_i$ y $\lambda_i b_i$ no dependen de $i$ por lo que también $b_i$ no depende de $i$ . Es decir $n=1$ .