He visto una declaración en http://en.wikipedia.org/wiki/Metric_space#Continuous_maps :
f es continua si y sólo si es continua en cada subconjunto compacto de M1.
Se plantea para el caso de que f sea un mapeo entre dos espacios métricos.
Me preguntaba si la afirmación es cierta para los mapeos entre espacios topológicos generales. ¿Por qué?
Gracias y saludos.
Más preguntas:
¿Qué hace que la afirmación sea verdadera para un mapeo entre dos espacios métricos? ¿Puedes dar un esquema de la prueba?
La afirmación es falsa en general. Sea $X$ sea un conjunto incontable con el topología contable . Entonces todos los subconjuntos contables de $X$ tienen la topología discreta y, por tanto, son cerrados pero no compactos, por lo que los únicos subconjuntos compactos de $X$ son los subconjuntos finitos, que también llevan la topología discreta. De ello se deduce que toda función $X \to Y$ , donde $Y$ es cualquier espacio topológico, es continua en subconjuntos compactos de $X$ . (Pero, por ejemplo, si $Y$ tiene el mismo conjunto subyacente con la topología discreta, la función "identidad" $X \to Y$ no es continua).
Edición: En respuesta a tu segunda pregunta, la propiedad que estás viendo equivale a ser generado de forma compacta . Un espacio topológico $X$ está generada de forma compacta si cumple la siguiente condición: un subconjunto de $X$ es abierta si y sólo si su intersección con todo subconjunto compacto es abierta.
Entonces, ¿por qué los espacios métricos se generan de forma compacta? Recordemos que un espacio es primer contable si cada punto tiene una base de vecindad contable. Los espacios métricos son contables en primer lugar porque en cualquier punto la secuencia de bolas abiertas de radio $\frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}$ forma una base de vecindad contable. Y los espacios contables en primer lugar son siempre generados de forma compacta; véase la prueba aquí .
Dejemos que $X$ sea un espacio topológico. Entonces $X$ tiene la propiedad de que una función $f:X\to Y$ (donde $Y$ es un espacio topológico abritrario) es continuo si su restricción a cada subespacio compacto es continua si y sólo si $X$ es generado de forma compacta espacio topológico.
El espacio $X$ está generada de forma compacta si un subconjunto $A$ cuya intersección con cualquier subespacio compacto $K$ de $X$ está abierto en $K$ está abierto en $X$ .
La mayoría de los espacios topológicos conocidos son generados de forma compacta (espacios euclidianos, colectores, complejos CW, etc.), pero no todos; ver la respuesta de Qiaochu para un ejemplo.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
