¿Por qué debería la unión de una familia de conjuntos de cardinalidad $\aleph_1?$

Question

Deje $\mathcal A$ ser una familia de infinito contable establece que es linealmente ordenado por inclusión y tal que $\bigcup\mathcal A$ es incontable. Tengo que demostrar que $|\bigcup\mathcal A|=\aleph_1.$

Creo que puedo probarlo al $\mathcal A$ está bien ordenado. Deje $\kappa=\mathrm{type}(\mathcal A).$, Entonces podemos índice $\mathcal A$ con los números ordinales.$\iota<\kappa:$ $\mathcal A=\{A_\iota\}_{\iota<\kappa}.$ Si $\kappa>\aleph_1,$ entonces no es$A_{\aleph_1}.$, Pero esta es la unión de todos los $A_\iota$$\iota<\aleph_1$. Desde $A_\iota$ son parejas distintas, $A_{\aleph_1}$ debe ser una multitud innumerable, una contradicción con $A_{\aleph_1}\in\mathcal A.$ por lo Tanto el tipo ordinal de $\mathcal A$ es en la mayoría de las $\aleph_1.$ Pero si eran menos de la que, a continuación, $\bigcup\mathcal A$ no sería incontable.

Pero no puedo ver cómo me puede hacer un linealmente ordenados $\mathcal A.$ ¿hay algún tipo de clasificación lineal para pedidos como el que ordinales los números para los pedidos? (Por favor, incluso si es irrelevante, hacer responder a esta pregunta, o me dicen que me deben pedir por separado.)

Answer 1

Su idea de mirar bien los conjuntos ordenados es la clave. Es cierto que $\mathcal A$ no necesita ser bien ordenado, pero su cofinality está bien definido, de todos modos.

Aquí, el cofinality de $\mathcal A$ es simplemente el menos ordinal $\alpha$ tal, que es estrictamente creciente secuencia de longitud $\alpha$ de los elementos de $\mathcal A$ que es cofinal en $\mathcal A$, es decir, una secuencia $\langle A_\beta\mid \beta<\alpha\rangle$ de manera tal que cada una de las $A_\beta\in\mathcal A$ si $\beta<\gamma<\alpha$,$A_\beta\subset A_\gamma$, y para cualquier $A\in\mathcal A$, $A\subset A_\beta$ algunos $\beta<\alpha$ (e $\alpha$ es al menos posible).

Ahora tenga en cuenta que esta $\alpha$ es un cardenal, en la mayoría de las $\aleph_1$ ( $1$ ), y que $\bigcup A=\bigcup_{\beta<\alpha}A_\beta$, y el problema se reduce a la bien ordenada caso.

De hecho, ni siquiera se necesitan para hablar de cofinalities aquí, todo lo que importa es que hay una secuencia $\langle A_\beta\mid\beta<\alpha\rangle$, independientemente de si $\alpha$ es de menos o no. Ahora, por supuesto, $\alpha$ no es necesariamente un cardenal, pero todavía se $\alpha\le\aleph_1$, que es todo lo que se necesita.