Si $ H $ es un subgrupo normal de $ G $$ G/H \times H \cong G $?
Por ejemplo, creo que $ \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \times 2 \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z} $. Me gustaría construir un mapa de la siguiente manera: \begin{align} \phi: \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \times 2 \mathbb{Z} &\longrightarrow \mathbb{Z}; \\ (a,b) &\longmapsto a + b. \end{align} Si no es cierto en general, luego hay un par de criterios para mostrar cuando es cierto?
Gracias!
Permítanme añadir un par de comentarios a los otros excelentes respuestas.
En algunos casos, hay un subgrupo de $K$ $G$ tal que $G = H K$$H \cap K = 1$. A continuación,$G/H \cong K$, e $G$ es un semidirect producto (un.k.una. división de extensión) $H \rtimes K$$H$$K$. El semidirect producto puede considerarse como una generalización del contacto directo con el producto, en el que sólo uno de los factores es normal.
En general, incluso un subgrupo $K$ $G$ no existe. Definir, a continuación,$K = G/H$. Ahora $G$ se dice que es una extensión de $H$$K$. Las cosas se ponen inmediatamente muy difícil aquí. Sin embargo, uno puede definir una sección como un mapa de $\sigma : K \to G$ tal que $\varphi \circ \sigma = \textbf{1}_{K}$. (Aquí se $\varphi : G \to K = G/H$ es la canónica mapa). $\sigma(K)$ no va a ser un subgrupo de $G$ (a menos que $G$ es una división de extensión de $H$ $K$ anterior), pero la multiplicación entre los elementos de las $\sigma(K)$ tendrá que ser corregido por un elemento de a $H$. Esto produce lo que se llama un $1$-cocycle, y a partir de ahora usted está en el territorio de grupo cohomology.
No. Si $A\times B\cong G$, en tanto $A$ $B$ (respectivamente sus imágenes bajo el isomorfismo) son normales en $G$. Su ejemplo con $\mathbb Z/2\mathbb Z$ no funciona debido a que $\mathbb Z/2\mathbb Z$ no es normal en $\mathbb Z$, sí lo es ni siquiera un subgrupo (no distinto de cero el elemento $x\in \mathbb Z$ tiene la propiedad de $x+x=0$).
Cualquier cíclico grupo cuyo orden no es squarefree contiene al menos un subgrupo normal para que esta falla, como se $C_{p^2m}\not\cong C_{p}\times C_{pm}$.
Usted puede estar buscando los Schur-Zassenhaus teorema.
Vale la pena señalar que incluso cuando $G \cong H \times K$, para $G/H \times H$ a ser isomorfo a $G$, usted tiene que elegir el "derecho de copia" de $H$.
Por ejemplo, supongamos $G = C_2 \times C_4$, vamos a $H = C_2$, y deje $F = \{0\} \times \{0, 2\}$ ser un subgrupo de $G$. A continuación, $F \cong H$ y, desde $G$ es abelian, $F$ es un subgrupo normal. Sin embargo, $$(G/F) \times H \cong C_2 \times C_2 \times C_2 \ncong G.$$
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