Demostrar que $1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1+ 2 + ... + n)^2$

Question

Esto es lo que he podido hacer:

Caso base: $n = 1$

$L.H.S: 1^3 = 1$

$R.H.S: (1)^2 = 1$

Por lo tanto, es cierto para $n = 1$ .

I.H.: Supongamos que, para algunos $k \in \Bbb N$ , $1^3 + 2^3 + ... + k^3 = (1 + 2 +...+ k)^2$ .

Quiere demostrar que $1^3 + 2^3 + ... + (k+1)^3 = (1 + 2 +...+ (k+1))^2$

$1^3 + 2^3 + ... + (k+1)^3$

$ = 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3$

$ = (1+2+...+k)^2 + (k+1)^3$ por I.H.

Y estoy atascado. No sé cómo proceder a partir de ahora.

Answer 1

PISTA: Quieres que esa última expresión resulte ser $\big(1+2+\ldots+k+(k+1)\big)^2$ , por lo que quiere $(k+1)^3$ sea igual a la diferencia

$$\big(1+2+\ldots+k+(k+1)\big)^2-(1+2+\ldots+k)^2\;.$$

Es una diferencia de dos cuadrados, por lo que se puede factorizar como

$$(k+1)\Big(2(1+2+\ldots+k)+(k+1)\Big)\;.\tag{1}$$

Para demostrar que $(1)$ es sólo una forma elegante de escribir $(k+1)^3$ , tiene que demostrar que

$$2(1+2+\ldots+k)+(k+1)=(k+1)^2\;.$$

¿Conoces una expresión más sencilla para $1+2+\ldots+k$ ?

(Una vez que tengas los detalles computacionales resueltos, puedes organizarlos de manera más ordenada que esto; escribí esto específicamente para sugerir una manera de proceder desde donde te quedaste atascado).

Answer 2

Considere el caso en el que $n = 1$ . Tenemos $1^3 = 1^2$ . Supongamos ahora que $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \cdots + n)^2$ para algunos $n \in \mathbb N$ . Recordemos en primer lugar que $\displaystyle (1 + 2 + 3 + \cdots + n) = \frac{n(n+1)}{2}$ para que sepamos $\displaystyle 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \bigg(\frac{n(n+1)}{2}\bigg)^2$ . Ahora considere $\displaystyle 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 + (n + 1)^3 = \bigg(\frac{n(n+1)}{2}\bigg)^2 + (n+1)^3 = \frac{n^2 (n+1)^2 + 4(n+1)^3}{4} = \bigg( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \bigg)^2$ . Por lo tanto, la afirmación es válida para el $n + 1$ caso. Así, por el principio de inducción matemática $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \cdots + n)^2$ para cada $n \in \mathbb N$ .

Answer 3

En mi opinión, este hecho es una coincidencia; un mejor enfoque es demostrar la fórmula de forma cerrada para ambos. Como sabemos

$$ 1 + 2 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}{2} $$

la afirmación correspondiente a demostrar es

$$ 1^3 + 2^3 + \cdots + k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4} $$

Answer 4

Ver http://www.youtube.com/watch?v=-usK5CMpUPo <-- este video . El caso que quieres es en torno a la marca de tiempo 5:53.