Conos de positivo semidefinite matrices generado por las matrices de rango $1$

Question

Deje $S_n$ ser el espacio de real $n \times n$ matrices simétricas y deje $S_n^+$ ser convexo de cono de positivo semidefinite matrices en $S_n$. El extremal de los rayos de este cono corresponden a la positiva semidefinite matrices de rango $1$.

Mi problema es que tengo un subcone $C$$S_n^+$, que está dada por (un número finito de las desigualdades, que no son todas lineal, cuadrática, por ejemplo). En $C$ tengo otro subcone $C'$ dado por los generadores que corresponden al rango de $1$ matrices. Desde que me gustaría comparar el $C$$C'$, sería bueno tener la definición de las desigualdades $C'$. Así que mi pregunta es si hay métodos conocidos para determinar dichas desigualdades.

Answer 1

Cualquier conjunto convexo cerrado en un localmente convexo topológico espacio vectorial sobre $\mathbb R$ es la intersección de una familia de la mitad de los espacios. En particular, cualquier cono convexo en ${\mathbb R}^{n \times n}$ está definido por un conjunto de desigualdades lineales (no necesariamente ecuaciones). Además, dado que el espacio es divisible, un contable de la colección va a hacer. No sé qué otra cosa se podría esperar que decir al respecto.