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Calcular $\lim_{n \to \infty}\binom{2n}{n}$ sin utilizar la regla de L'Hôpital.

Preguntas:

(1) Calcular

$$\lim_{n \to \infty}\binom{2n}{n}$$

(2) Calcular

$$\lim_{n \to \infty}\binom{2n}{n} 2^{-n}$$

sin utilizar la regla de L'Hôpital.

Respuestas intentadas:

(1)

Aquí empiezo usando la definición de un binomio:

$$\lim_{n \to \infty}\binom{2n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{n!(2n-n)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{n!n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n \cdot (2n-1) \cdot (2n-2) \cdot ... \cdot (n + 1) \cdot n!}{n! \cdot n!}$$

Cancelando una n! da:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{2n \cdot (2n-1) \cdot (2n-2) \cdot ... \cdot (n + 1)}{n!}$$

Aquí sostengo que, seguramente, el numerador crece más rápido que el denominador y por lo tanto el resultado debe ser que el límite crece hacia $\infty$ . ¿Es esto suficientemente riguroso desde el punto de vista matemático?

(2)

Mi primer intento se basó en el teorema del binomio en un esfuerzo por conseguir que la expresión se pareciera a la forma general:

$$(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} a^{k} b^{n-k}$$

pero no parece coincidir del todo, ya que $k$ tendría que ser $0$ para que $a$ se convierte en $= 1$ no interfiere, pero entonces $n-k$ sería $n$ en su lugar.

Mi segundo intento fue hacer lo que hice en (1), pero luego multiplicarlo por $2^{-n}$ :

$$\lim_{n \to \infty} \frac{2n \cdot (2n-1) \cdot (2n-2) \cdot ... \cdot (n + 1)}{n!} \cdot \frac{1}{2^{n}}$$

Ahora podemos cancelar uno de los $2$ s en el $2^{n}$ para cada segundo factor en el numerador, ya que (es decir, 2n, 2n-2) son divisibles por 2. Pero hay n factores en el numerador, por lo que a lo sumo $\frac{n}{2}$ factores pueden ser cancelados.

Problemas:

(a) ¿Es mi respuesta a (1) suficientemente rigurosa desde el punto de vista matemático? ¿Es realmente "obvio" que el numerador crece más rápido o hay argumentos adicionales que deberían aportarse para que el argumento sea convincente?

(b) ¿cuáles son los enfoques más productivos para la pregunta (2)?

2 votos

¿Es el $ x$ ¿un error tipográfico?

0 votos

Sí. ¡Gracias por encontrar eso!

0 votos

Ambos pueden ser acotados a continuación por $n$ después de algún momento

6voto

Lockie Puntos 636

Para la parte (1), dejando $a_n:=\binom{2n}n,$ debe ser capaz de demostrar que $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{2(2n+1)}{n+1}=3+\frac{n-1}{n+1}\ge3.$$ Dicho de otro modo, $a_{n+1}\ge3a_n$ para todos $n,$ lo que debería permitirle concluir fácilmente que $a_n\ge 3^n$ para todos $n$ En ese momento, ya has terminado.

En cuanto a (2), retrasaría la cancelación, trabajando desde $$\frac{(2n)!}{2^nn!n!}$$ en su lugar. Se puede transformar el numerador en el producto del primer $n$ impar enteros positivos, y el denominador en $n!,$ y a partir de ahí proceder de forma similar a la parte (1).

Añadido : Más directamente, la parte (1) permite concluir que $$\binom{2n}n\cdot2^{-n}\ge\left(\frac32\right)^n$$ para todos $n,$ por lo que (2) es fácil.

1 votos

Si ya ha probado ${{2n}\choose n} \geq 3^n$ entonces (2) es también inmediata.

0 votos

Muy cierto, Slade. De alguna manera me las arreglé para no usar el primer problema como una puerta de entrada al segundo....

5voto

freethinker Puntos 283

No aceptaría su solución a (1); $x^2+x$ crece más rápido que $x^2$ pero la proporción se acerca a 1.
Es más fácil demostrar $(2)$ primero: La fracción es igual a $$\frac{2n}{2n}\frac{2n-1}{2n-2}\frac{2n-2}{2n-4}...\frac{n+1}{2}$$ ¿Puedes demostrar que la fracción crece sin límite?

4voto

heropup Puntos 29437

Una forma elemental de hacer el primer límite: anotar $$\begin{align*} \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} &= \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} + \frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!} \\ &= \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k-1)!} \left( \frac{1}{n-k} + \frac{1}{k} \right) \\ &= \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k-1)!} \cdot \frac{n}{k(n-k)} \\ &= \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{k}. \end{align*}$$ En consecuencia, $$\binom{2n}{n} = \binom{2n-1}{n-1} + \binom{2n-1}{n} \ge \binom{2n-1}{n-1}.$$ Repitiendo este proceso, encontramos $$\binom{2n}{n} \ge \binom{2n-2}{n-2} \ge \ldots \ge \binom{2n-n+1}{1} = n+1,$$ por lo que el límite es ilimitado ya que $n \to \infty$ . No es, ni mucho menos, una serie ajustada de desigualdades, pero te lleva a ella.

1voto

Alex Puntos 11160

Para a) sugeriría lo siguiente:

$$ \prod_{j=1}^{n} (1+\frac{j}{n}) = e^{\log \prod_{j=1}^{n} (1+\frac{j}{n})} = e^{\sum_{j=1}^{n} \log(1+\frac{j}{n})} \sim e^{\sum_{j=1}^{n} \frac{j}{n}} = e^{\frac{1}{2} \cdot (n+1)} \to_n \infty $$

1voto

Gyumin Roh Puntos 2221

Desde $$4^n = \sum_{i=0}^{2n} \binom{2n}{i} \le 2n \binom{2n}{n}$$ Tenemos $$\binom{2n}{n} \cdot 2^{-n} \ge \frac{2^{n-1}}{n}$$ El resto es fácil. La Aproximación de Stirling también debería darte una solución de sobrecarga.

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