Preguntas:
(1) Calcular
$$\lim_{n \to \infty}\binom{2n}{n}$$
(2) Calcular
$$\lim_{n \to \infty}\binom{2n}{n} 2^{-n}$$
sin utilizar la regla de L'Hôpital.
Respuestas intentadas:
(1)
Aquí empiezo usando la definición de un binomio:
$$\lim_{n \to \infty}\binom{2n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{n!(2n-n)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{n!n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n \cdot (2n-1) \cdot (2n-2) \cdot ... \cdot (n + 1) \cdot n!}{n! \cdot n!}$$
Cancelando una n! da:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{2n \cdot (2n-1) \cdot (2n-2) \cdot ... \cdot (n + 1)}{n!}$$
Aquí sostengo que, seguramente, el numerador crece más rápido que el denominador y por lo tanto el resultado debe ser que el límite crece hacia $\infty$ . ¿Es esto suficientemente riguroso desde el punto de vista matemático?
(2)
Mi primer intento se basó en el teorema del binomio en un esfuerzo por conseguir que la expresión se pareciera a la forma general:
$$(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} a^{k} b^{n-k}$$
pero no parece coincidir del todo, ya que $k$ tendría que ser $0$ para que $a$ se convierte en $= 1$ no interfiere, pero entonces $n-k$ sería $n$ en su lugar.
Mi segundo intento fue hacer lo que hice en (1), pero luego multiplicarlo por $2^{-n}$ :
$$\lim_{n \to \infty} \frac{2n \cdot (2n-1) \cdot (2n-2) \cdot ... \cdot (n + 1)}{n!} \cdot \frac{1}{2^{n}}$$
Ahora podemos cancelar uno de los $2$ s en el $2^{n}$ para cada segundo factor en el numerador, ya que (es decir, 2n, 2n-2) son divisibles por 2. Pero hay n factores en el numerador, por lo que a lo sumo $\frac{n}{2}$ factores pueden ser cancelados.
Problemas:
(a) ¿Es mi respuesta a (1) suficientemente rigurosa desde el punto de vista matemático? ¿Es realmente "obvio" que el numerador crece más rápido o hay argumentos adicionales que deberían aportarse para que el argumento sea convincente?
(b) ¿cuáles son los enfoques más productivos para la pregunta (2)?
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¿Es el $ x$ ¿un error tipográfico?
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Sí. ¡Gracias por encontrar eso!
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Ambos pueden ser acotados a continuación por $n$ después de algún momento
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Bueno, estoy trabajando con un libro de texto de cálculo por diversión, así que supongo que al final depende de mí, pero el libro aún no ha llegado a la regla de L'Hôpital (la regla viene unas 200 páginas más adelante), así que supongo que la respuesta sería un no.
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Para (1) se puede demostrar combinatoriamente: ${2n \choose n}$ es el número de formas de elegir $n$ elementos de una colección de $2n$ elementos. Esto puede hacerse en al menos $n$ formas [podemos, por ejemplo, tomar las decisiones $\{k+1,\ldots,k+n\}$ para $k=1,2,\ldots,n$ Así que ${2n \choose n} \geq n$ que es lo suficientemente fuerte como para deducir el límite.