Reducción de homología

Question

Estoy tratando de entender por qué $H_0(X) \cong \tilde{H}_0(X) \oplus \mathbb{Z}$. En Hatcher en la página 110 escribe

"...Desde $\varepsilon \partial_1 = 0$, $\varepsilon$ se desvanece en $im \partial_1$ y, por tanto, induce un mapa de $H_0(X) \rightarrow \mathbb{Z}$ con kernel $\tilde{H}_0(X)$..."

Los bits que no entiendo es cómo es exactamente lo que induce a este mapa. Quiero decir, ¿dónde se $\mathbb{Z}$ vienen de repente. Es en la ampliación del diagrama para la reducción de la homología $\tilde{H}_0$ e las $H_0(X)$ es en el diagrama. Así que de alguna manera hay un mapa de la normal de homología en una reducción de la homología (exactamente secuencias), pero ¿cómo? Muchas gracias por tu ayuda.

Answer 1

Hay un mapa de $\epsilon : C_0(X) \to \mathbb Z$. Es de hecho una parte de la compleja para la reducción de homología, pero existe de forma independiente. Debido a $\epsilon \partial_1$ es cero, el valor de $\epsilon(z)$ no cambia cuando se agrega un límite así que, por definición, se define un mapa de $\overline \epsilon : H_0(X) = C_0(X)/\mathrm{im} \partial_1 \to \mathbb Z$.

Ahora, ¿cuál es el núcleo de este mapa? Es el conjunto de (nonreduced) homología de las clases representadas por un elemento en el que $\epsilon$ se desvanece. Así que eso es $\ker \epsilon / \mathrm{im} \partial_1$. Esa es la definición misma de $\widetilde H_0(X)$.

Realmente no hay nada profundo va allí (y no hay nada demasiado interesante). Reducido (co)homología no es sino una aplicación muy útil convenio que evita demasiado aburrido distinción entre cero y positivo de grado para los cálculos que hacemos todos los días (mirando a la homología de contráctiles espacio, mirando a la homología de una cuña de suma...)

Answer 2

Conceptualmente, la clave para digerir es este hecho fundamental:

• En la homología, cada ciclo, considerado como un espacio abstracto en su propio derecho, es un límite. Excepto 0-ciclos. Para 0-ciclos límites, usted necesita un número equilibrado de $+$ $-$ signos.

Así que el punto de la reducción de la homología es crear un contexto donde todos los ciclos son los límites (posiblemente de espacios más grandes, dicen que si usted está tratando con el espacio $X$, todos los ciclos en $X$ son los límites en el cono en $X$, $CX$. Pero eso es sólo una manera de dar sentido a este). Entonces el problema de si es o no un ciclo en un espacio fijo es un límite se convierte en una extensión del problema. El ciclo puede ser un resumen de los límites, pero el objeto que es el límite de no mapa en el espacio que desea.

Este problema se vuelve más elaborado que en otros homología teorías, como el singular bordism. Porque aquí tienes muchos colectores que en sí mismos no son límites -- así que incluso constante de mapas a partir de estos colectores para su espacio de $X$ representan no trivial elementos de singular bordism. Así que no te dicen nada interesante en su espacio de $X$.

Pero tu pregunta tiene una respuesta técnica. Usted tiene su aumento mapa de $H_0(X) \to \mathbb Z$ dado por la toma de las sumas de los signos de su 0-células, que se asignan a $X$. El núcleo de este mapa se reduce la homología. Pero cualquier mapa a $\mathbb Z$ se divide, por lo que hay un mapa de nuevo $H_0(X) \to \overline{H_0}(X)$. Este mapa de nuevo creo que no es natural, a menos que usted conozca $X$ está conectado.

Answer 3

En primer lugar, el mapa de $\epsilon$ definida previamente en el texto es un mapa de $C_0(X) \to \mathbb{Z}$. A continuación, después de comprobar que $\epsilon \partial_1 = 0$ (use la definición de $\epsilon$ a hacer esto), sabemos que $\epsilon$ mapas de nada en la imagen de $\partial_1$$0$, por lo tanto los factores a través de $C_0(X)/ im \partial_1$, que es por definición el grupo de $H_0(X)$.

Ahora lo que quizás no es claro en la primera lectura es que el $\tilde{H}_0(X)$ es simplemente define a ser el núcleo de la inducida por el mapa de $H_0(X) \to \mathbb{Z}$.

Espero que esto ayude!

Answer 4

Tal vez esto está implícito en las respuestas anteriores, pero $\mathbb{Z}$ proviene del hecho de que $H_*(pt.)=H_0(pt.)=\mathbb{Z}$. Todo puede ser visto como algo que viene desde el mapa únicas $X \to pt.$ y mirando a la inducida por el mapa en la homología. A continuación, $\tilde{H}_*(X)$ es el núcleo de la inducida por el mapa en la homología. Usted se acaba de deshacerse de la contribución del punto de base. Esto parece no tener sentido ahora, tal vez, pero más tarde será útil tener ambos. Algunos de largo exacto de las secuencias son más fáciles de entender cuando usted no necesita preocuparse acerca de la no-cero $H_0$'s, como calcular la homología de $S^n$ inductivamente mediante el Mayer-Vietoris Secuencia.