La reescritura de una integral

Question

Esta es la relación de Poisson ecuación con oblicua de la condición de frontera (Gilbarg Trudinger especial p121)

Dejamos $\Gamma(|x-y|)$ denotar la solución fundamental de la ecuación de Laplace. También, vamos a $x-y^{*} = (x_1-y_1, \cdots ,x_{n-1}-y_{n-1},x_n+y_n)$. Por último, vamos a $\zeta = \frac{(x-y^{*})}{|x-y^{*}|}$

No entiendo a los cálculos de esta

$$ \Theta = -2b_n\int_0^{\infty}{e^{as}D_n\Gamma(x-y^{*}+\textbf{b}s)ds}$$ where $a\leq 0$

a este

$$ \Theta = -|x-y^{*}|^{2-n}\left( (\frac{2 b_n}{n\omega_n})\int_0^{\infty}e^{a|x-y^{*}|s}\frac{\zeta_n+b_ns}{(1+2({\textbf{$\zeta$}\cdot\textbf{b})s+s^2)^{\frac{n}{2}}}}ds\right)$$

donde $\omega_n$ es el volumen de la n-bola. Supongo que estoy pegado en una relación, ya que sólo definir la solución fundamental para $|x-y|$, y nunca he visto algo en la que desea agregar un vector en el interior. También, ¿cómo podemos llegar al término adicional en el exponente? Si alguien puede que me señale en la dirección correcta, te lo agradecería. Gracias.

Answer 1

La parte acerca de la adición de un vector dentro del argumento de $\Gamma$ no es un problema, porque $\Gamma$ es una función de un vector, no de un escalar. Es decir, la definición es $$ \Gamma(x) = c_n |x|^{2-n}, \qquad x\in\mathbb{R}^{n}\setminus\{0\} $$ como contraposición a $$ \Gamma(r) = c_nr^{2-n}, \qquad r>0. $$

La transformación de la integral es el resultado del cambio de la variable de donde se sustituye $s$$|x-y^*|s$. Permítanos calcular la normal derivado de la $\Gamma$ primera. Tenemos $$ \Gamma(x-y^*+bs) = \frac{|x-y^*+bs|^{2-n}}{n(2-n)\omega_n}, $$ y así

$$ D_n\Gamma(x-y^*+bs) = \frac{|x-y^*+bs|^{-n}}{2n\omega_n} \cdot D_n|x-y^*+bs|^2 = \frac{|x-y^*+bs|^{-n}}{2n\omega_n} \cdot 2(x_n-y^*_n+b_ns). $$ Ahora presentamos a la nueva variable $r$$s=|x-y^*|r$. El uso de $r$$\zeta$, podemos reescribir $D_n\Gamma$ $$ D_n\Gamma(x-y^*+bs) = \frac{(\zeta_n+b_nr)|x-y^*|}{n\omega_n|\zeta+br|^n|x-y^*|^n} = \frac{|x-y^*|^{1-n}}{n\omega_n}\cdot\frac{\zeta_n+b_nr}{|\zeta+br|^n}. $$ Hemos terminado una vez que tenemos en cuenta a la $ds=|x-y^*|dr$, y $$ |\zeta+br|^2 = |\zeta|^2 + 2r(\zeta\cdot b) a + |b|^2r^2 = 1 + 2r(\zeta\cdot b) + r^2. $$