Deje $A$ ser un anillo conmutativo con unidad. Considerar sus asociados afín esquema de $(\operatorname{Spec}(A),\mathcal{O}_A)$. Me preguntaba si la restricción de morfismos, $$A \xrightarrow{r|^X_U} \mathcal{O}_A(U)$$ podría inducir a un abierto de inmersión de $\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_A(U))$ a $\operatorname{Spec}(A)$. Sé que esto para el caso de distinguidos abre. Lo que ocurre en el caso general?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Me deja trabajar el contador de ejemplo propuesto en los comentarios.
Deje $X = \operatorname{Spec}A$ ser un no-normal aislado de la superficie de la singularidad, como se ha construido aquí: aislado no normal de la superficie de la singularidad. Deje $p$ ser el punto singular y $U = X \setminus \{p\}$ el de apertura del complemento. Resulta, que esta siempre será un ejemplo contrario, y por suerte no tenemos que hacer ningún tipo de cálculos.
Deje $A \to \bar A$ ser la integral de cierre (que es una extensión finita, ya que $A$ es finito tipo a través de un campo), y $Y = \operatorname{Spec} \bar A \xrightarrow f X$ ser inducida por finito de morfismos de afín esquemas. Esto induce un isomorfismo encima de la media normal locus, es decir,$Y \setminus f^{-1}(p) \xrightarrow{\sim} U$ .
Desde que el mapa es finito, tenemos que $f^{-1}(p)$ ha codimension dos en la normal esquema de $Y$, por lo tanto, por Hartog el lema:
$$\mathcal O_X(U) = \mathcal O_U(U) = \mathcal O_{Y \setminus f^{-1}(p)}(Y \setminus f^{-1}(p)) = \mathcal O_Y(Y \setminus f^{-1}(p)) = \mathcal O_Y(Y) = \overline A$$
De ahí que se preguntan si el mapa $$A \to \mathcal O_X(U) = \overline A$$ induces an open immersion. Of course we expect the map to be the inclusion into the integral closure, thus the induced map is the map $f$. To show this rigorously, note that the sheaf map $\mathcal O_X \f_* \mathcal O_Y$ da lugar a un diagrama conmutativo
$$\requieren{AMScd} \begin{CD} A @>>> \overline A\\ @VVV @VV\operatorname{id}V \\ \mathcal O_X(U) @>\cong>> \mathcal O_Y(Y \setminus f^{-1}(p))=\overline A \end{CD}$$
Por functoriality de $\operatorname{Spec}$, tenemos un diagrama conmutativo
$$\requieren{AMScd} \begin{CD} Y @>\cong>> \operatorname{Spec} \mathcal O_X(U)\\ @V\operatorname{id}VV @VVV \\ Y @>f>> X \end{CD}$$
Así, el mapa de $\operatorname{Spec} \mathcal O_X(U) \to X$ es una inmersión si y sólo si $f$ es uno. Pero $f$ es surjective y no un isomorfismo, por lo tanto no puede ser abierto de inmersión.
