Cada clase en $H_{n - 1}(M; \mathbb{Z})$ representado por cerrado, liso, orientable submanifold de codimension $1$?

Question

Deje $M$ ser cerrado, liso, orientable $n$-colector. ¿Cómo puedo ver que cada clase en $H_{n - 1}(M; \mathbb{Z})$ (resp. $H_{n - 2}(M; \mathbb{Z})$) está representado por un circuito cerrado, liso, orientable submanifold de codimension $1$ (resp. $2$)?

Pensamientos. Tal vez queremos usar el hecho de que $S^1$ $K(\mathbb{Z}, 1)$ (resp. $\mathbb{C}P^\infty$ $K(\mathbb{Z}, 2)$ ) y representan un cohomology de la clase por una suave mapa, a continuación, utilizar la posición general?

Answer 1

Su enfoque es el correcto, como también se menciona en los comentarios. Permítanme escupir algunos detalles:

$H_{n-1}(M;\mathbb Z)$ isomorfo a $H^1(M;\mathbb Z)\cong [M,K(\mathbb Z,1)]=[M, S^1]$. Ahora, dada $f:M\rightarrow S^1$, tomar un regular el valor de p, y comprobar que $[f^{-1}(p)]$ es la homología de la clase.

La historia de codimension $2$ es muy similar. A continuación, $H_{n-2}(M;\mathbb Z)$ corresponde a $H^2(M,\mathbb Z)\cong [M,K(\mathbb{Z},2)]= [M,\mathbb{CP}^\infty]$. Ahora $\mathbb{CP}^\infty$ no es un colector, por lo que no podemos utilizar directamente la posición. Sin embargo, puede ser aproximada por los colectores, lo cual es suficiente:

Por celular aproximación, cualquier mapa de $M\rightarrow \mathbb{CP}^\infty$ puede ser homotoped a un mapa en $\mathbb{CP}^{\dim M}$. Ahora $\mathbb{CP}^{\dim M-1}\subset \mathbb{CP}^{\dim M}$, y hasta homotopy, $f$ cumplir $CP^{\dim M-1}$ transversalmente. Compruebe que $f^{-1}(\mathbb{CP}^{\dim M-1})$ representa el derecho de homología de la clase.

Para mayor codimension homología de clases de la historia a lo largo de estas líneas se acaba aquí, creo. Sin embargo Thom investigado este problema en general, y le dio más respuestas (ciertos múltiplos de homología de las clases puede ser representado por submanifolds, pero en general esto no funciona. Más de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ siempre es posible)