Hay un sistema físico cuyo espacio de fase es el toro?

Question

NOTA. Esta no es una pregunta acerca de la matemática y, en particular, no es una pregunta acerca de si uno puede dotar al toro con una estructura simpléctica.

En una respuesta a la pregunta

¿Qué tipo de colector puede ser el espacio de fase de un Hamiltoniano del sistema?

Me afirmaron que no existen (en un sentido matemático), sistemas Hamiltonianos en el toro (y, de hecho, en la mayor género de las superficies). Sin embargo, cuando presionado para llegar a un sistema físico en el mundo real (incluso una visión idealizada), cuyas dinámicas se pueden modelar como un Hamiltoniano del sistema en el toro, yo no podía pensar en una sola.

Qué tal un sistema de existir?

Incluso me atrevería a estar satisfecho con un no-clásica sistema que de alguna manera puede efectivamente ser descrito por un Hamiltoniano del sistema en el toro, aunque no estoy seguro de que el OP de la otra pregunta que me vinculada a la anterior sería.

Answer 1

Considere la posibilidad de un no-relativista de masa de partículas con carga $q$ en un toro 2D

$$\etiqueta{1} x ~\sim~ x + L_x , \qquad y ~\sim~ y + L_y, $$

en una constante no nula campo magnético $B$ a lo largo de los a $z$-eje.

Localmente, se puede elegir un potencial vector magnético

$$\etiqueta{2} A_x ~=~ \partial_x\Lambda \qquad A_y ~=~ Bx +\partial_y\Lambda $$

donde $\Lambda(x,y)$ es arbitraria indicador de función. Localmente, el Lagrangiano (que codifica la fuerza de Lorentz) está dada como

$$\etiqueta{3} L~=~ p ( A_x\dot{x} + A_y\dot{y})~=~qB~x\dot{y}+ \text{(tiempo total de derivados)}. $$

[El ordinario cinética plazo $T=\frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2)$ está ausente ya que la masa $m=0$. Esto implica que la característica del ciclotrón de la frecuencia del sistema es infinito.] El Lagrangiano de momenta son

$$\etiqueta{4} p_x ~=~ \frac{\partial L}{\parcial\dot{x} }~=~A_x, \qquad p_y ~=~ \frac{\partial L}{\parcial\dot{x} }~=~A_y. $$

Eq. (4) se convierte en la segunda clase de limitaciones, de modo que las variables $p_x$ y $p_y$ puede ser eliminado. El corchete de Diraces no degenerada en el $xy$-sector:

$$\etiqueta{5} \{y,x\}_{DB}~=~\frac{1}{qB}. $$

[Alternativamente, esto puede ser visto mediante el Faddeev-Jackiw método.] En otras palabras, los dos periódicos de coordenadas $x$ y $y$ convertido en cada uno de los otros canónica de la variable correspondiente simpléctica de dos formas

$$\etiqueta{6} \omega_{DB}~=~qB ~\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y. $$

El Hamiltoniano correspondiente $H=0$ se desvanece. La clásica de la nca. de movimiento

$$\etiqueta{7} \dot{x}~=0~=\dot{y} $$

implica un congelado de partículas.

Answer 2

$U(1)$ de Chern-Simons teoría (física) espacio 2-toro es un ejemplo. Su espacio de fase es el medidor de clases de equivalencia de tv de conexiones en la parte 2-toro. Estos son especificados por el holonomies alrededor de dos 1-ciclos de la formación de una base de $H_1(T^2)$. Evidentemente, esto es un 2-toro $U(1) \times U(1)$. Debido a la forma de la Chern-Simons acción, estas variables son, de hecho, conjugado, y el simpléctica volumen del espacio de fase es igual a la de Chern-Simons nivel.

Sospecho que sólo habrá `topológico" ejemplos como este, ya que un compacto espacio de fase por lo general implica un finito dimensional espacio de Hilbert (por la incertidumbre de Heisenberg). Si tiene un sistema local de quantum observables, entonces el espacio de Hilbert es automáticamente infinitas dimensiones, desde la ubicación de la observable y medible.

Esta teoría es, en realidad, se dio cuenta de que en nuestra realidad como la de largo alcance efectivo de la teoría de ciertos hall cuántico de sistemas! (Por supuesto, necesitamos estar considerando el largo alcance de la teoría a deshacernos de local observables como electrón correlators.)

Answer 3

En física del estado sólido, la mayor parte de un cristal es generalmente dado periódico de las condiciones de contorno para evitar el problema del pegamento de qué hacer en la terminación del cristal. De modo que el cristal es todo a granel, no de la superficie. Esta resulta ser una muy buena aproximación a la mayor parte de un real de cristal. También da a los sólidos de la topología de un 3-toro.

Answer 4

Una isotrópica 2D oscilador, cuando se toma en acción-ángulo de variables realizando una transformación canónica de la Hamiltoniana, $$ H(q_1, p_1, q_2, p_2 ) = \frac{q_1^2}{2m} + \frac{kq_1^2}{2} + \frac{q_2^2}{2m} + \frac{kq_2^2}{2} $$ dará dos constantes del movimiento, las acciones , y los dos ángulos que va del 0 a $2\pi$ que genera un toro. No estoy del todo seguro de que el proceso de hacer la transformación, pero esto es lo que me encontré hace poco, cuando yo estaba aprendiendo clásico de la física.