Es una función que preserva cero y afín a las líneas necesariamente lineal?

Question

Mi pregunta está directamente inspirado en este otro recientes pregunta, pero yo estaba tratando de averiguar si es o no vale para $\mathbb R$. Esto me lleva a dos preguntas. Deje $n \ge 2$ ser un número entero (no estamos incluyendo a $n = 1$ no son triviales contraejemplos en la dimensión $1$).

1. Deje $V$ $W$ ser real, espacios vectoriales, tanto de dimensión $n$, y deje $f: V \to W$ ser un bijection que envía cero a cero y afín a las líneas para afín a las líneas. Es $f$ necesariamente lineal?

2. Deje $V$ ser un verdadero espacio vectorial de dimensión $n$. Si nos olvidamos de la estructura de espacio vectorial en $V$, y recordar sólo los datos de lo que los afín a las líneas en $V$$n$, se puede recuperar la topología en $V$?

Un afirmativa a la pregunta 1, que implica una afirmativa a la pregunta 2: elegir cualquier bijection $f: V \to \mathbb R^n$ que conserva afín a las líneas, y $f$ es necesariamente un homeomorphism.

En la dimensión $n=2$, pregunta $2$ es equivalente al siguiente problema:

• Utilizando sólo los datos de lo que los afín a las líneas, dada $3$ distintas líneas paralelas (que puede ser caracterizado como de las que no se cortan el uno con el otro), determine la línea que está en el medio.

Una vez que usted sabe que usted puede describir abrir establece en términos de las uniones de líneas entre dos líneas paralelas.

Del mismo modo, para $n=2$, la pregunta 2 es equivalente a:

• Utilizando sólo los datos de lo que los afín a las líneas de, dada una línea y $3$ puntos distintos, determinar que el punto está en el medio.

También sería bueno saber si, y cómo, las respuestas 1 y 2 dependen de la dimensión de $V$.

Answer 1

Voy a ofrecer un esbozo de la prueba gracias a Moishe Cohen y Christian Sievers para proporcionar algunas de las sugerencias.

Teorema: Vamos a $F$ ser cualquier campo con al menos $3$ elementos, vamos a $V$ $W$ ser espacios vectoriales sobre $F$, tanto de dimensión $\ge 2$, y deje $f: V \to W$ ser un bijection que envía a $0$ $0$afines y de líneas afín a las líneas. A continuación, $f$ es semi-lineal, es decir, no es un automorphism $\phi: F \to F$ tal que $f(av+w) = \phi(a)f(v)+f(w)$, para cada $v, w \in V$$a \in F$.

En el caso de $F = \mathbb R$, no hay ninguna que no sea trivial automorfismos, por lo que cada una de estas bijection es lineal.

Por supuesto, la presencia de la $0$ es un tecnicismo menor; permite el fácil uso de álgebra lineal. Sin $0$, cada mapa es "semi-afín".

En el siguiente esquema, no es una buena intuición Geométrica Euclidiana para $F = \mathbb R$, pero todos los pasos pueden llevarse a cabo de manera algebraica arbitrarias de los campos.

1. Afín a los aviones en $V$ puede ser caracterizada de la siguiente manera: Para dos líneas de $L_1$ $L_2$ que se intersectan en un único punto, su afín span $A$ es la unión de las dos líneas con todas las líneas de $L$ que se cruzan $L_1$ $L_2$ en puntos distintos. Este es el paso que requiere de $|F| \ge 3$; después de todo bisagras sólo en saber qué es afín a las líneas afines y de los planos y $0$.

2. Por lo tanto, podemos caracterizar las líneas paralelas: son los pares de líneas que son distintos y se encuentran en el mismo plano afín.

3. Podemos caracterizar a la adición: Si $v$ $w$ son linealmente independientes, entonces denotamos por a $L_v$ $L_w$ las líneas que ir a través de$0$$v$, e $0$ $w$ respectivamente. Deje $L_v'$ ser la línea paralela a $L_v$ que pasa a través de $w$, y deje $L_w'$ ser la línea paralela a $L_w$ que pasa a través de $v$. A continuación, $v+w$ es el único punto en la intersección de las $L_v'$$L_w'$. Además, $(-w)$ puede ser caracterizado por $(v+w)+(-w) = v$. A continuación, para $v'$ linealmente dependiente con $v$, $v+v' = ((v+w)+v')+(-w)$.

4. Para distinto de cero vectores $v$, denotan $L_v$ como en el 3. Para linealmente independientes $v$$w$, podemos caracterizar a la bijection $L_v \to L_w$$a v \mapsto a w$, para cada una de las $a \in F$. Explícitamente, $aw$ es la intersección con $L_w$ de la línea a través de $av$, la cual es paralela a la recta que pasa por a$v$$w$.

5. Para $v'$ cero y linealmente dependiente con $v$, podemos caracterizar a la misma bijection $L_v \to L_{v'}$ a través de un auxiliar linealmente independientes $w$.

6. Revisión arbitraria $v \neq 0$$V$. Las anteriores construcciones nos dan, además de en $L_v$ y nos permiten construir la multiplicación mapa de $L_v \times L_v \to L_v$$(av, bv) \mapsto abv$. Esto asigna la estructura de un campo a $\mathbb L_v := L_v$. Este campo es, por supuesto, isomorfo a $F$. Las observaciones anteriores nos permiten definir el espacio vectorial de acción de $\mathbb L_v$$V$.

7. La función de $f$ debe restringir a un isomorfismo de los campos de $\mathbb L_v \to \mathbb L_{f(v)}$, y de ser lineal con respecto a este isomorfismo. El isomorfismo de los campos no necesitan necesariamente de acuerdo con el mapa de $av \mapsto af(v)$, que es la razón por la $f$ puede no ser necesariamente lineal.

Answer 2

Véase, por ejemplo, mi respuesta aquí. (Recuerdo que responder a preguntas similares más de una vez, pero tal vez sólo en los comentarios, que no son búsquedas.) En esa respuesta me discutir el caso de las transformaciones, mientras que usted está pidiendo aquí acerca de las transformaciones afines, pero la prueba es el mismo. La idea, debido a von Staudt (apareció en su 1850 2-volumen libro sobre geometría proyectiva), es hacer "álgebra geométrica", es decir, para codificar el archivo binario operaciones algebraicas en un campo determinado punto de la línea de configuraciones. Una buena referencia es "Fundamentos de la Geometría Proyectiva" de Robin Hartshorne. Como para cuando la topología de la muestra: se puede recuperar la topología de ${\mathbb R}$ de su ordenada estructura de campo que, a su vez, pueden ser recuperados desde la pura álgebra, como $x^2>0$ todos los $x\ne 0$ y viceversa (cada número real positivo es un cuadrado). La situación es radicalmente diferente respecto a otros campos, por ejemplo, sobre los números complejos, ya que uno tiene que tomar en cuenta la totalidad absoluta de Galois grupo que no actúa continuamente en ${\mathbb C}$.

La siguiente es una configuración que se describe la adición de números reales.

De un lado: La idea de "álgebra geométrica" se remonta a los clásicos de las matemáticas griegas (para ellos todo el álgebra fue geométricas); es todavía muy útiles, algunas de las aplicaciones más espectaculares en el campo de los orientados a la matroids y convexo polytopes (Mnev la universalidad del teorema): Mnev fue con el original de von Staudt configuraciones para demostrar su teorema.