Estoy buscando unas matemáticas que me desafíen como un año $12$ estudiante.

Question

Soy un año próximo $12$ Las vacaciones escolares se acercan en unos días y me he dado cuenta de que probablemente me voy a aburrir muchísimo. Así que estoy buscando algunas sugerencias.

Quiero un reto, unas matemáticas que pueda intentar aprender/dominar. Obviamente nada imposible, pero las matemáticas son mi número $1$ cosa favorita y realmente quiero algo que me mantenga ocupado y algo que pueda hacer avanzar mi comprensión de las matemáticas. También me interesaría cualquier sugerencia de libros centrados en las matemáticas.

Hasta ahora en la escuela he hecho lo habitual:

Matrices, matrices de transformación, Seno Coseno y Tangente (gráficos y pruebas), muchas parábolas/cuadráticas, estadística, crecimiento y decrecimiento, introducción al cálculo, derivación e integración del cálculo, vectores, prueba por inducción y números complejos.

Cualquier sugerencia será muy apreciada.

Answer 1

Me han pedido una pista. Gauss pensaba en las raíces de la unidad. El método de Gauss para tratar estos polinomios está en el capítulo 9 de Teoría de Galois de Cox . De hecho, como señala el autor, este trabajo es anterior a la Teoría de Galois en unos treinta años. Para dar un nombre, aunque no ayudará con estos problemas, https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_period

---

Para el primo indicado en el problema más sencillo de abajo, define $$ \omega = e^{2 \pi i / p} = \cos \frac{2 \pi }{p} + i \sin \frac{2 \pi }{p}$$ Entonces $$ \omega^p = 1 $$ y la raíz real indicada, cuando se trata de un solo término del coseno, es simplemente $$ \omega + \frac{1}{\omega} = \omega + \omega^{p-1}$$

Para los problemas con dos términos del coseno, la raíz indicada es, con algún número entero $k,$ $$ \omega + \omega^k + \omega^{p-k} + \omega^{p-1}$$

---

Demuestra que $$ x = 2 \cos \left( \frac{2 \pi}{7} \right) $$ es una raíz de $$ x^3 + x^2 - 2 x - 1. $$ Para éste, encuentra todas las raíces. Esto aparece en la página 6 de Reuschle

---

Demostrar que $$ x = 2 \cos \left( \frac{2 \pi}{11} \right) $$ es una raíz de $$ x^5 + x^4 -4 x^3 -3 x^2 + 3 x + 1. $$ Esto aparece en la página 9 de Reuschle

---

Demuestra que $$ x = 2 \cos \left( \frac{2 \pi}{23} \right) $$ es una raíz de $$ x^{11} + x^{10} - 10 x^9 - 9 x^8 + 36 x^7 + 28 x^6 - 56 x^5 - 35 x^4 + 35 x^3 + 15 x^2 - 6 x - 1. $$ Este aparece en la página 30 de Reuschle

---

Demuestra que $$ x = 2 \cos \left( \frac{2 \pi}{47} \right) $$ es una raíz de $$ x^{23} + x^{22} - 22 x^{21} - 21 x^{20} + 210 x^{19} + 190 x^{18} -1140 x^{17} -969 x^{16} + 3876 x^{15} + 3060 x^{14} $$ $$ -8568 x^{13} - 6188 x^{12} + 12376 x^{11} + 8008 x^{10} - 11440 x^9 - 6435 x^8 + 6435 x^7 + 3003 x^6 - 2002 x^5 $$ $$ -715 x^4 + 286 x^3 + 66 x^2 - 12 x - 1 $$ Este aparece en la página 73 de Reuschle . Muy bonito. He pedido una barata reedición en rústica de Reuschle.

Tenga en cuenta que $$ 2, 5, 11, 23, 47 $$ son la cadena máxima de los primos de Sophie Germain (bueno, al menos cuando no son $4 \pmod 5$ ); aparentemente $47$ se denomina en cambio "primo seguro". En cualquier cadena de enteros $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,$ tal que $x_{n+1} = 2 x_n + 1,$ una de las cadenas es divisible por $5.$ Los cinco números sólo pueden ser primos si uno de ellos es igual a $5.$ Mientras tanto, $ x = 2 \cos \left( \frac{2 \pi}{47} \right) $ es una raíz de $x^2 + x - 1,$ que inicia la cadena de polinomios mínimos gaussianos.

Podemos obtener una cadena más larga cuando la primera es $-1 \pmod {30},$ es decir $$ 89, \; 179, \; 359, \; 719, \; 1439, \; 2879. $$ $$ 1122659, \; 2245319, \; 4490639, \; 8981279, \; 17962559, \; 35925119, \; 71850239. $$

---

Encuentra al menos una raíz de $$ x^3 + x^2 - 4 x + 1. $$ Suma de un par de cosenos esta vez, denominador $13$ . En realidad, es bastante inusual tener una de estas donde la raíz "principal" es un solo término del coseno. Eso sólo ocurre cuando el grado es primo $q$ , mientras que $2q+1$ también es primo, mientras que el polinomio se construye con mucho cuidado; la receta se debe a Gauss. Sección siete de las Disquisitiones Arithmeticae.

---

Encuentra al menos una raíz de $$ x^7 + x^6 - 12 x^5 - 7 x^4 + 28 x^3 + 14 x^2 - 9 x + 1. $$ Suma de un par de cosenos esta vez, denominador $29$ . Este aparece en la página 35 de Reuschle

Answer 2

Proyecto Euler es una gran fuente de problemas interesantes. Muchos de ellos requieren que aprendas un poco de programación informática, lo que te recomiendo encarecidamente que pruebes si no lo has hecho antes. (Y si no tienes un lenguaje de programación preferido, da Sage un intento. Una sintaxis limpia y agradable con una extensa biblioteca matemática y ni siquiera tienes que instalar nada).

---

Sólo para dar una idea del sabor, aquí hay un problema inicial sobre el Conjetura de Collatz que me gusta bastante. Es lento por fuerza bruta, pero un poco de recursivo la magia lo resuelve en menos de un segundo.

La siguiente secuencia iterativa está definida para el conjunto de enteros positivos:

$n \rightarrow n/2$ ( $n$ es par)

$n \rightarrow 3n + 1$ ( $n$ es impar)

Utilizando la regla anterior y empezando por $13$ generamos la siguiente secuencia:

$13 \rightarrow 40 \rightarrow 20 \rightarrow 10 \rightarrow 5 \rightarrow 16 \rightarrow 8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$

Se puede observar que esta secuencia (que comienza en $13$ y terminando en $1$ ) contiene $10$ términos. Aunque todavía no se ha demostrado (Problema de Collatz), se cree que todos los números iniciales terminan en $1$ .

¿Qué número inicial, por debajo de un millón, produce la cadena más larga?

Answer 3

Si realmente buscas recomendaciones, puedo sugerirte algunos libros:

$1$ . Putnam y más allá: Libro de Razvan Gelca y Titu Andreescu .

$2$ . Teoría elemental de los números: Primes, Congruences, and Secrets:Por Willaim Stein .

$3$ . Diamantes matemáticos: por Ross Honsberger .

Estos tres libros son la mejor colección para desarrollar fuertes habilidades lógicas y dominar la capacidad de resolver problemas. La opinión de otros puede ser diferente a la mía, pero como yo también soy un $12$ estudiante así que pensé que te gustaría lo que a mí me gusta.

Answer 4

Ya hay muchas respuestas buenas a esta pregunta, pero he pensado que podría contribuir con algunos de mis problemas "elementales" favoritos (que apenas requieren requisitos previos). En mi opinión, todos estos problemas tienen soluciones hermosas que son un placer encontrar, y aunque no conducen necesariamente a las matemáticas profundas, sí que apuntan a algunas estrategias generales de resolución de problemas (algunas de las cuales puede que no hayas encontrado en la escuela).

1. Demuestre que dado $7$ puntos del círculo unitario siempre habrá dos que tengan una distancia menor que $1$ .

2. En una isla hay $13$ gris, $15$ marrón y $17$ verde camaleones. Cuando dos camaleones de diferente color se encuentran se asustan tanto que ambos se convierten en el tercer color. ¿Es posible que después de un tiempo todos los camaleones sean del del mismo color?

3. Demuestre que la suma de los recíprocos de $100$ Los números Impares nunca pueden ser iguales a $1$ .

4. Tienes una matriz rectangular de números reales. Un paso consiste en multiplicar cada elemento de una columna o una fila por $-1$ . ¿Se puede alcanzar siempre un estado, en un número finito de pasos, en el que la suma de los elementos de cada fila y columna sea no negativa?

5. Se eliminan dos esquinas opuestas de un tablero de ajedrez. ¿Puede cubrir el resto del tablero con fichas de dominó de tamaño $2 \times 1$ ? ¿Y si sólo se elimina una esquina y las fichas de dominó son de tamaño $3 \times 1$ ? (Este es un problema muy conocido y bonito).

Answer 5

1) Establecer una fórmula para la suma del primer $n$ enteros. Entonces, para la suma de los primeros $n$ cuadrados perfectos ( $n^2$ ). Luego los cubos... Ve tan lejos como puedas.

2) Dado $n$ puntos $(x_i,y_i)$ encontrar un polinomio tal que $p(x_i)=y_i$ para todos $i$ . Prueba con $n=1$ entonces $n=2$ entonces $3$ ... y tratar de encontrar un enfoque general. También tratar de minimizar la cantidad de cálculo.

3) Encuentra la vigésima derivada de $\tan(x)$ .

4) Calcular $e$ a mano a la $25^{th}$ decimal.

5) Calcular $\pi$ a mano a la $25^{th}$ decimal.

6) Dibuja una curva al azar y encuentra una ecuación que se ajuste a ella.

7) Encuentra una forma de calcular el factorial de un número decimal, como $5.3!$

8) Conoce los números de Bernouilli, Euler y Stirling.