¿Se pueden tener conjuntos negativos?

Question

Me imagino que, dado que se puede, por supuesto, tener miembros en un conjunto, tener un solo miembro en un conjunto, y luego no tener ningún miembro en un conjunto, no parece entonces un gran paso adelante (o hacia atrás, dependiendo de cómo se piense) para pensar en un conjunto con miembros negativos.

Lo aclararé. Dado que la teoría de conjuntos se ocupa de la pertenencia, y no se ocupa de la cantidad, sino de la calidad de esos miembros, tal vez sea posible tener un conjunto con miembros negativos que resten miembros a otro conjunto cuyos homólogos positivos estén contenidos en él.

Por ejemplo, la unión de los conjuntos $A$ y $B$ donde el conjunto $A = \{1,2,3\}$ y establecer $B =\{-3\}$ daría como resultado el conjunto $A B = {1,2}$ .

Dos notas: En primer lugar, se puede construir arbitrariamente cualquier conjunto que se desee, pero cuando se aplica al mundo real, tal vez esto pueda ser de utilidad ; En segundo lugar, el conjunto vacío parece frívolo pero resultó ser bastante útil, tal vez se pueda decir lo mismo de los conjuntos negativos

Como alguien ha señalado, y por supuesto tiene razón, el conjunto sería en realidad $\{1,2,3,-3\}$ . Sin embargo, siguiendo el principio, ¿es denotable lo que estoy describiendo?

Answer 1

Esto es posible. Esencialmente se quiere ampliar la definición de un multiset para incluir también los números negativos como multiplicidades. Pero no sé si hay alguna aplicación útil de esto.

Answer 2

Lo que usted describe es isomorfo (usando esta palabra de forma imprecisa) una operación (en el sentido normal) de la clase de todas las funciones $f:\; S \mapsto \{-1,0,1\}$ . Por ejemplo, si $f(a) =m$ , entonces el conjunto $f$ tiene $m$ copias del elemento $a$ .

Llame a $$ \mathcal{L} := \big\{ f: S \mapsto \{-1,0,1\} \big\} $$

Entonces la unión se convierte en "adición y truncamiento a 1". Es decir,

$$ \cup : \mathcal{L} \times \mathcal{L} \mapsto \mathcal{L} \\\\ (f \cup g)(a) := \begin{cases} 1,\; f(a)+g(a) \geq 1 \\\\ -1,\; f(a)+g(a) \leq -1 \\\\ 0,\; \textrm{otherwise} \end{cases},\; a \in S. $$ Sin embargo, esto no conserva la propiedad $f \cup (g \cup h) = (f \cup g) \cup h$ .

Así que tengo otra sugerencia. Permitir que los elementos del conjunto sean repetitivos, incluso copias negativas . Entonces, $$ \mathcal{L} := \big\{ f: S \mapsto \mathbb{Z} \big\} $$

Entonces simplemente define la unión como una adición:

$$ \cup : \mathcal{L} \times \mathcal{L} \mapsto \mathcal{L} \\\\ (f \cup g)(a) := f(a)+g(a),\; a \in S. $$ Sin embargo, no sé cómo definir la intersección. Tal vez una intersección de conjuntos es $$ \cap : \mathcal{L} \times \mathcal{L} \mapsto \mathcal{L} \\\\ (f \cap g)(a) := f(a) g(a),\; a \in S. $$ Así que he conservado $$ f \cap g = g \cap f \\\\ f \cup g = g \cup f \\\\ (f \cup g) \cap h =(f \cap h) \cup (g \cap h) $$ Por desgracia, no he conservado $$ (f \cap g) \cup h =(f \cup h) \cap (g \cup h) $$ El recuento tradicional de elementos es el número de elementos truncado en uno. Si $f*$ sea el recuento tradicional de $f$ entonces $$ f*(a) =\begin{cases} f(a),\; f(a)=-1,0,1 \\\\ 1,\; f(a) >1 \\\\ -1,\; f(a) <-1 \end{cases} $$

Answer 3

Hay una generalización de los conjuntos múltiples que puede ser lo que quieres, que llamaré conjuntos de cuentas pero que en realidad no es más que un conjunto de pares tal que el primer miembro de los pares es único y el segundo miembro de cada par es un entero distinto de cero. La razón por la que lo describo de esta manera en lugar de como una función desde el universo (dominio completo del discurso) a los enteros es que en ZFC no hay ninguna función porque toda función tiene como dominio un conjunto, y no hay ningún conjunto universal. $ \def\none{\varnothing} \def\wi{\subseteq} \def\zz{\mathbb{Z}} $

Más concretamente, un conjunto $S$ es un conjunto de cuentas si ( $S \wi U \times \zz_{\ne 0}$ para algún conjunto $U$ y ( para cada $x \in U$ hay un único $y \in \zz_{\ne 0}$ tal que $(x,y) \in S$ ) ).

Por comodidad, dejemos que $base(S) = \{ x : (x,y) \in S \}$ y $count(S,x) = \cases{ 0 & if $ x \Nen la base(S) $ \\ y & if $ (x,y) en S $ for some $ y $ }$ .

Podemos entonces definir operaciones sobre conjuntos de cuentas $S,T$ de la siguiente manera:

• $S \cap T = \{ (x,m) : x \in base(S) \cup base(T) \land m = \min(count(S,x),count(T,x)) \land m \ne 0 \}$ .

• $S \cup T = \{ (x,m) : x \in base(S) \cup base(T) \land m = \max(count(S,x),count(T,x)) \land m \ne 0 \}$ .

• $S + T = \{ (x,m) : x \in base(S) \cup base(T) \land m = count(S,x)+count(T,x) \land m \ne 0 \}$ .

• $S - T = \{ (x,m) : x \in base(S) \cup base(T) \land m = count(S,x)-count(T,x) \land m \ne 0 \}$ .

• $-S = \none - S$ .

Estos satisfacen las propiedades:

• Los conjuntos normales se integran en los conjuntos de cuentas mediante $S \mapsto \{ (x,1) : x \in S \}$ . [Así que los conjuntos de cuentas extienden los conjuntos normales].

• $\cap,\cup,+$ son conmutativas y asociativas sobre conjuntos de cuentas.

• $\cap,\cup$ son idempotentes en conjuntos de cuentas (cuando se aplican a conjuntos de cuentas idénticos dan el mismo resultado).

• $\none$ es la identidad de $+$ en los conjuntos de cuentas; a saber $S + \none = S$ para cualquier conjunto de cuentas $S$ .

• $-$ es la operación inversa para $+$ a saber $S + (-S) = \none$ para cualquier conjunto de cuentas $S$ .

• Los conjuntos de cuentas obedecen a la extensionalidad, es decir $S = T$ si $count(S,x) = count(T,x)$ por cada $x \in base(S) \cup base(T)$ . [La restricción de recuento no nulo es precisamente para conseguir esta propiedad, ya que asegura que hay una representación única de cada conjunto de recuentos].

En concreto, conseguimos lo que quieres porque:

$\{(1,1),(2,1),(3,1)\} + \{(3,-1)\} = \{(1,1),(2,1)\}$ .

En resumen, podemos utilizar etiquetas de números enteros distintos de cero para cada elemento, en lugar de pensar en ellos como elementos negativos, y todo esto se puede definir y manipular en cualquier teoría de conjuntos razonable.

Answer 4

Esta es una pregunta interesante.

Está claro que no tiene ningún problema con un conjunto que contenga algunos números negativos, como el $B$ en su pregunta. En cambio, preguntas por algo como un conjunto con un número negativo de elementos.

Eso no es posible con el significado habitual de "conjunto", así que para conseguir tales "conjuntos" habría que inventar una extensión de ese significado. Ese tipo de invención en matemáticas ya ha ocurrido antes. Los números $1, 2, \ldots$ son buenos para contar. Ese sistema se amplió útilmente para incluir $0$ y los enteros negativos, aunque es exagerado pensar que sirven para contar.

En cuanto a los conjuntos: sí, el conjunto vacío resulta muy útil. Uno querría inventar "conjuntos negativos" si se topara con un problema en el que la idea le ayudara a encontrar una solución. El problema con el que has empezado no parece necesitar tal invento, ya que los conjuntos ordinarios que contienen números negativos hacen el trabajo cuando se combinan con una nueva operación sobre conjuntos que crea un nuevo conjunto formando una unión y "cancelando" cuando un número y su negativo coinciden.

Answer 5

Creo que la mejor manera de pensar en esto es definir primero el concepto de conjunto negativo como sigue: Para cualquier conjunto $B$ definimos el conjunto negativo $-B$ que admite las operaciones de unión con cualquier conjunto $A\supseteq B$ (definido como $A\cup -B=A\setminus B$ ) o cualquier otro conjunto negativo (definido $-A\cup -B=-(A\cup B)$ ), y la intersección con conjuntos negativos (definida como $-A\cap -B=-(A\cap B)$ ).

Una vez que tenemos esta definición, podemos ampliarla para incluir la idea de "conjuntos mixtos" que definimos como $[A\cup -B]$ para dos conjuntos disjuntos $A$ y $B$ . Entonces la unión de dos conjuntos mixtos puede definirse como $[A\cup -B] \cup [C\cup -D]= [((A\cup C)\setminus (B\cup D))\cup -((B\cup D)\setminus(A \cup C))]$ con la intersección y la complementación definidas de forma similar.

Los conjuntos con elementos negativos corresponden, pues, a pares ordenados de conjuntos disjuntos. Extender la noción de conjuntos de esta manera me recuerda a la extensión de los números reales a los números complejos, ya que estos nuevos conjuntos son una combinación de un conjunto estándar y un nuevo tipo de objeto derivado de un segundo conjunto estándar, al igual que un número complejo es un número real combinado con un número imaginario (que se deriva de otro número real a través de la multiplicación por $i$ ).