Cómo determinar el número con la misma cantidad de pares e impares divisores

Question

Con número dado N, cómo determinar la primer número después de N con la misma cantidad de pares e impares divisores? Por ejemplo, si tenemos N=1, entonces el siguiente número que estamos buscando es :

2
because divisors:
odd : 1
even : 2

Me di cuenta de que este número especial no puede ser impar y, obviamente, no puede ser primo. No puedo encontrar alguna fórmula para esto o no me acaba de calcular uno por uno y comprobar si es este número especial ? Obviamente el 1 y el propio número es divisores de este número. Saludos

Answer 1

Para hacerse una idea de lo que está pasando, lo hacemos igual que otros científicos, nos experimento.

Números especiales serán aún, así que anote el número de divisores impares, incluso divisores, para los números pares, comenzando con $2$. Si el número resulta ser especial, ponemos a $\ast$ en su fila.

Por lo tanto, hacer una tabla, dando el número impar de divisores que tiene, cómo muchos incluso. Los cálculos son fáciles, pero debemos ser muy cuidadosos, ya que los errores nos podría llevar hacia el camino equivocado.

$2 \qquad 1 \qquad 1\quad\ast$

$4 \qquad 1 \qquad 2$

$6 \qquad 2 \qquad 2\quad\ast$

$8 \qquad 1 \qquad 3$

$10 \qquad 2 \qquad 2\quad\ast$

$12 \qquad 2 \qquad 4$

$14 \qquad 2 \qquad 2\quad\ast$

$16 \qquad 1 \qquad 4$

$18 \qquad 3 \qquad 3\quad\ast$

Fácilmente podríamos ir por un tiempo. Definitivamente no es una pérdida de tiempo, ya que es útil para estar bien familiarizados con la estructura de la pequeña números que nos tropezamos a menudo.

Un patrón parece saltar: cada segundo número parece ser especial. Parece como si "especial" los números no son todo lo que especial! Puede ser peligroso para saltar a conclusiones a partir de los datos acerca de enteros pequeños. Pero en este caso, la conclusión resulta ser correcta.

Los números especiales, hasta el momento, todas tienen la forma $2a$ donde $a$ es un número impar. Ellos son divisibles por $2$, pero no por $4$. Los números en nuestra lista que no son especiales, son todos divisibles por $4$.

Ahora tratamos de demostrar que todo número que es divisible por $2$, pero no por $4$ es especial, y que los otros no lo son.

Tome un extraño número $b$, y mirar el número de $2b$. Piense acerca de los divisores de a $2b$. Si $k$ es un divisor impar de $2b$, $2k$ es incluso un divisor de a $2b$, y vice-versa.

Si $k$ es un divisor impar de $2b$, llame a $2k$ el amigo de $k$. Dividir los divisores de $2b$ en parejas de amigos. Por ejemplo, si $b=45$, tenemos los siguientes pares de amigos.

$$(1,2)\qquad (3,6) \qquad(5,10)\qquad(9,18)\qquad(15,30) \qquad (45,90)$$

Hemos dividido los divisores de $2b$ en parejas de amigos. Cada par tiene un número impar, y un número par, por lo $2b$ tiene exactamente el número impar de divisores, ya que incluso divisores.

Ahora vamos a demostrar que no hay ningún número divisible por $4$ puede ser especial. La idea es que si un número es divisible por $4$, entonces tiene "demasiados" incluso divisores. No voy a escribir los detalles, pero usted debe. La idea va de la siguiente manera. Tomar un número $n$ que es divisible por $4$, como $36$ o $80$. Dividir los divisores de $n$ en los equipos. Si $k$ es un divisor impar de $n$, puesto en el mismo equipo como $k$ los números $2k$, $4k$, y así sucesivamente, sin embargo lejos puede ir.

Aquí están los equipos para $n=36$. $$(1,2,4) \qquad (3,6,12)\qquad (9,18,36)$$

Cada equipo tiene más números de los números impares, por lo $n$ tiene más incluso divisores de impar de divisores. Eso significa que $n$ no puede ser especial.

Ahora vamos a llegar a su pregunta: ¿cuál es el primer número especial después de la $N$?

Si $N$ es divisible por $4$, el primer número especial después de$N$$N+2$. Si $N$ es divisible por $2$, pero no por $4$, el primer número especial después de$N$$N+4$. Si $N$ resto $1$ sobre la división por $4$, el primer especial después de$N$$N+1$, y si el resto es $3$, la primera especial del es $N+3$. Estos hechos siga fácilmente de lo que hemos descubierto acerca de los números especiales.

Fórmulas: Hemos estado operando sin fórmulas, sólo recto pensamiento. Pero debo mencionar un relevante de la fórmula. Deje $n$ ser un número entero mayor que $1$, y expresar $n$ como un producto de potencias de distintanúmeros primos. En símbolos, vamos $$n=p_1^{a_1}p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$$ A continuación, el número de divisores de a $n$ está dado por $$(a_1+1)(a_2+1) \cdots(a_k+1)$$

Por ejemplo, $720=2^43^25^1$. El número de (positivo) divisores de $n$ es $(4+1)(2+1)(1+1)$.

La fórmula que da el número de divisores de a $n$ no es difícil de demostrar. Tratar de producir una prueba! La fórmula podría ser adaptado para hacer un recuento de los divisores impares de $n$, y de los divisores. Entonces podríamos usar estas fórmulas para identificar los números especiales. Pero las fórmulas no pueden hacer pensar. Así como una primera aproximación, la forma en que hemos abordado las cosas es mucho mejor que intentar utilizar una fórmula.

Answer 2

Escribí una aplicación de C++. Mis resultados son los siguientes números:

0, 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, ....

Así, en primer lugar cero, luego dos y luego cada vez más 4.

Esto significa que, en general, que si $n \equiv 2 (mod 4) $ es verdad, su número es uno de los que usted está buscando. A excepción de la primera de cero.

Aquí está el código de la aplicación:

for (int i = 0; i < 1000; i += 2)
// Always +2 because of odd numbers don't have any even divisors
{
    int even = 0;
    int odd = 0;
    for (int d = 1; d <= i; ++d)
    {
        if (i % d == 0)
        {
            if (d % 2 == 0)
            {
                even++;
            } else
            {
                odd++;
            }
        }
    }
    if (even == odd)
    {
        printf("%d\n", i);
    }
}

Answer 3

Para un entero dado $n$, cada divisor mayor que $\sqrt{n}$ está emparejado con un divisor más pequeño que $\sqrt{n}$. El uso de esta figura fuera de un principio general.