Un número primo de la pared de la piscina de la tabla

Question

Supongamos que tenemos una visión idealizada incluso - y $n$-piscina con paredes de tabla sin agujeros, la fricción y reflejando perfectamente de las paredes, y que una pelota es puesta en movimiento (dentro de la tabla), en paralelo a uno de los lados y hacia el punto medio de la pared de la primera toma de contacto.

Para un 3 lados de la tabla de la pelota describen un camino eterno en otro triángulo inscrito, de 4 caras de la tabla hay dos estados de la dicha eterna caminos.

Ahora me pregunto, para $n$ número de las paredes hay un solo estado o la ruta de acceso si $n$ es un número primo, y habrá quizás $m$ número de estados si $n$ es un factor de $m$ de los números primos?

Answer 1

Por simetría con respct a mediados de la perpendicular de la lado el movimiento es paralelo a, la bola se mueve por un número $2k$ de lados (que puede ser más de $\frac n2$, como en el caso de $n=3$) y el (poligonal o estrella) forma de la ruta de acceso está determinada únicamente por el número de $2k$, salvo que $n-2k$ $2k$ generar el mismo. Así que si $n=2m$ es aún, tenemos que comprobar $k$ desde $1$ $\lfloor \frac m2\rfloor =\lfloor \frac n4\rfloor$inclusive, si $n$ es extraño $k$ desde $1$ $\frac{n-1}2$incluido. Para cada una de las $k$, un ciclo cerrado implica a todas las $d$th borde donde se $d=\gcd(n,2k)$, con lo que conseguimos $d$ distintos de rotación de copias de esta ruta y el número total de ciclos cerrados es $$\tag1 \sum_{k=1}^{\lfloor\frac n4\rfloor\text{ or }\frac{n-1}2}\gcd(n,2k).$$ Parece que esta secuencia $$ 0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 6, 6, 4, 5, 12, 6, 6, 15, 16, 8, 12, 9, 22, 22, 10, 11, 34, 20, 12, 27, 32, 14, 30$$ no es en OEIS(todavía). Por cierto, si $n$ es un extraño primo, entonces $(1)$ es igual a $\frac{n-1}{2}$.

Answer 2

Deje $R$ regular $n$-gon, y el número de los puntos medios de sus lados $0$ a través de $n-1$.

Tenga en cuenta que si una recta que pasa por el punto medio de un lado es paralelo a otro lado, a continuación, pasa a través del punto medio de otro lado. Por extraño $n$ el converso tiene; una recta que pasa por los puntos medios de dos lados es paralelo a otro lado. Incluso para $n$ esto sólo aplica en el caso de los lados difieren en un número par (suponiendo que hemos numerado los lados de una manera sensible).

Por lo tanto podemos describir el movimiento inicial como a partir de un punto de $p\in\{0,\ldots,n-1\}$, hacia otro punto de $q\in\{0,\ldots,n-1\}$ donde $p\neq q$. Indicar la ruta de acceso a partir de un punto a a $p$ que se mueve hacia la $q$$P(p,q)$.

Considerar el camino de $P(0,m)$. Después de la reunión punto de $m$, la pelota se refleja y se mueve hacia el punto $2m$. Por simetría, el $k$-ésimo punto a resolver es el punto de $k\cdot m$, por lo que los puntos en la ruta $P(0,m)$ son múltiplos enteros de $m$, modulo $n$ del curso.

Conteo de orientación, esto produce, precisamente, $n-1$ caminos distintos reunión de $0$ si $n$ es impar, y, precisamente, $\tfrac{n}{2}-1$ caminos distintos meething $0$ si $n$ es incluso. Por supuesto, no todos los caminos se reúne el punto de $0$ necesariamente. La longitud de $P(0,m)$, es decir, el número de puntos distintos cumple, es $\operatorname{lcm}(m,n)/n$, o, equivalentemente,$m/\gcd(m,n)$, lo que usted prefiera, por lo que no son, precisamente, $\gcd(m,n)$ distintos 'rotaciones' de este camino. El número total de caminos distintos, contando con la orientación, es por lo tanto

$$T(n)=\left\{\begin{array}{cc} \sum_{m=1}^{n-1}\gcd(m,n)&\text{ for } n \text{ odd,}\\ \sum_{m=1}^{\tfrac{n}{2}-1}\gcd(2m,n)&\text{ for } n \text{ even.}\end{array}\right.$$

Sin contar la orientación, nos encontramos con el total de los números de

$$t(n)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{2}(T(n)+n)&\text{ if } 4\mid n\\ \frac{1}{2}T(n)&\text{ otherwise,}\end{array}\right.$$

Sospecho que contar órbitas bajo algún grupo de acción producirá un mejor resultado.