Se puede hacer una bola giran alrededor de un eje vertical utilizando sólo una combinación de eje horizontal rotaciones?

Question

Este es un problema que me gustaría compartir.

Problema: En un jardín público, hay una estatua que consta de una piedra esférica y una copa de piedra. La pelota es de 1 metro de diámetro y pesa menos de una tonelada. La copa es un revés semiesférica de shell, y la pelota se encuentra en esta cáscara y se adapta a casi exactamente. El agua es bombeada a la parte inferior de la concha, de modo que una película delgada que existe entre la shell y la pelota. El resultado es una bola que está libre para girar con mínima fricción.

Usted sólo tendrá acceso a la pelota cerca de la parte superior, así que mientras que usted puede empujar a hacer el giro alrededor del eje horizontal, usted no puede obtener suficiente agarre para hacer el giro alrededor de un eje vertical. Se puede impartir un momento angular neto alrededor de un eje vertical, de modo que las bolas gira alrededor de un eje vertical?

Fuente: Cálculo Vectorial, Álgebra Lineal, y Formas Diferenciales por Hubbard y Hubbard.

Answer 1

Parece que tanto las respuestas se refieren a que el efecto acumulativo de las rotaciones en la orientación de la pelota y no al total del momento angular logrado. Como se ha señalado en los comentarios, es imposible alcanzar la vertical del momento angular empujando alrededor de un eje horizontal. Esto es debido a que empujar alrededor de un eje horizontal que se aplica un par de torsión alrededor del eje, y el par de torsión es el tiempo de la derivada del momento angular, por lo que aplicando el par de torsión indicado a lo largo de un eje horizontal que nunca se puede dar el momentum angular de una componente vertical.

Sin embargo, tomando la parte sobre "el acceso a la pelota cerca de la parte superior", literalmente, y la parte sobre la que sólo los ejes horizontales, menos literalmente: Si puede empujar cerca de la parte superior alrededor de los ejes que son casi, pero no del todo horizontal, usted puede escoger dos puntos opuestos cerca de la parte superior, simétrica con respecto a la parte superior, y en la hilera de inserción en ellos, de decir, hacia la derecha; que se generan pares de cuyos componentes horizontales cancelar y cuyos componentes verticales se suman, así que usted puede construir vertical del momento angular a lo largo del tiempo.

Answer 2

Considere la posibilidad de rotación de álgebra generada por las matrices de $L_x,L_y,L_z$

$L_\alpha$ genera rotación alrededor de $\alpha$ eje. es decir, para cualquier número real $a$, $exp(aL_\alpha)$ es la rotación alrededor de $\alpha$ eje por una cantidad proporcional a $a$.

También tenemos relaciones $[L_x,L_y]=L_z$, y otras dos obtenidos por permuting $x,y,z$.

Ahora elija un número real $a$ e intente siguiente combinación de rotaciones :

$exp(-aL_x)exp(-aL_y)exp(aL_x)exp(aL_y)$

hay un famoso teorema (aunque no recuerdo su nombre:) que puede ser utilizado para calcular los productos de la matriz de las exponenciales. Dice $exp(A)exp(B)=exp(A+B+[A,B]/2+...)$ para las matrices cuadradas $A$ $B$ ("..." significa orden superior conmutadores)

El uso de este se encuentra que, por encima de combinación es proporcional a $exp(a^2L_z + ..)$ (aquí ".." significa los términos que contienen 3 o poderes superiores de $a$)

Por lo que mantener $a$ lo suficientemente pequeño como usted puede conseguir una rotación alrededor de $z$ eje.