Pruébalo: $a^2+b^2+(1-a-b)^2\ge \frac {1}{3}$

Question

Dónde $a$ y $b$ son cualquier número real dado. He intentado resolverlo utilizando la derivada parcial. $$ s=a^2+b^2+(1-a-b)^2$$ $$\frac{\partial s}{\partial a}=2a-2(1-a-b) \tag{1}$$ $$\frac{\partial s}{\partial b}=2b-2(1-a-b) \tag{2}$$ para los máximos tanto (1) como (2) son 0..a partir de aquí obtenemos dos ecuaciones de donde obtenemos valores de $a$ y $b$ $$2a-2(1-a-b)=0 \tag{3}$$ $$2b-2(1-a-b)=0 \tag{4}$$ poniendo los valores de $a$ y $b$ encontramos a partir de (3) y (4) en la función el valor máximo de la función debe ser $\frac {1}{3}$ .que en este caso no es

Answer 1

Sugerencia: Aplicar Desigualdad de Cauchy-Schwarz a los vectores $$ \vec{u}=(1,1,1)\qquad\text{and}\qquad\vec{v}=(a,b,1-a-b). $$

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Pista: Mira tus ecuaciones $(3)$ y $(4)$ . ¿Puedes deducir que $a=b$ ¿en un punto crítico? ¿Puede entonces resolver $a$ y $b$ ?

Answer 2

Utilizando Titu Andreescu Lemma, tenemos

$\dfrac{a^2}{1}+\dfrac{b^2}{1}+\dfrac{(1-a-b)^2}{1} \ge \dfrac{(a+b+1-a-b)^2}{3}=\dfrac{1}{3}$

Answer 3

Tomándolo desde donde lo dejaste:

$$a=1-a-b\implies a=\frac{1-b}2\\ b=1-a-b\implies b=\frac{1-a}2$$

Así que sustituyendo la primera eq. en la segunda y utilizando la simetría de ambas:

$$b=\frac{1-\frac{1-b}2}2=\frac{1+b}4\implies b=\frac13\;\;\text{, and thus also}\;\;a=\frac13$$

Continuando con las derivadas parciales

$$\frac{\partial^2s}{\partial a^2}=4=\frac{\partial^2s}{\partial b^2}\;\;,\;\;\frac{\partial^2s}{\partial a\partial b}=\frac{\partial^2s}{\partial b\partial a}=2$$

$$\text{Thus, at}\;\;\left(\frac13\,,\,\frac13\right)\;,\;\;\text{the Hessian is positive definite and we get a minimum there.}$$

De aquí, obtenemos que

$$\forall\,a,b\in\Bbb R\;,\;\;a^2+b^2+(1-a-b)^2\ge\frac29+\left(1-\frac23\right)^2=\frac29+\frac19=\frac13\;\ldots$$

Answer 4

Una aproximación más. Empezamos con una desigualdad un poco más simple:

$$a^2+(1-a)^2 > \frac{1}{2},$$

que se puede demostrar sin palabras con la siguiente imagen:

$\hspace{100pt}$

(si insiste en la explicación: quiere que el gris oscuro sea lo más pequeño posible, pero claramente tan largo como $a > b$ entonces la parte roja es mayor que la verde).

Ahora bien, si hay tres cuadrados (como en la pregunta), y algunos dos son de distinto tamaño, entonces puedes hacerlos de igual tamaño sin cambiar el tercer cuadrado, pero al mismo tiempo disminuyendo la zona gris oscura. Este proceso converge a tres cuadrados del mismo tamaño y permite intuir por qué se mantiene el resultado ;-)

$\hspace{100pt}$

Sé que no es una prueba propiamente dicha, pero espero que ayude ;-)

Answer 5

LHS $ =a^2+b^2+1-2(a+b)+(a+b)^2 \ge \dfrac{(a+b)^2}{2}+1-2(a+b)+(a+b)^2=\dfrac{3}{2}(a+b)^2-2(a+b)+1=\left(\sqrt{\dfrac{3}{2}}(a+b)-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)^2+\dfrac{1}{3} \ge \dfrac{1}{3} $

primero "=" es $a=b$ El segundo "=" es $a+b=\dfrac{2}{3} \to a=b=\dfrac{1}{3}$ para conseguir $\dfrac{1}{3}$