¿Se puede probar esta desigualdad? $e^{ \left ( \pi ^{e^{ \pi ^{.^{.^{.^{e^ \pi }}}}}} \right )} \ge \pi ^{ \left (e^{ \pi ^{e^{.^{.^{.^{ \pi ^e}}}}}} \right )}$

Question

Estoy interesado en probar las siguientes desigualdades:

$e^ \pi\ge\pi ^e$ , $ \quad \pi ^{(e^ \pi )} \ge e^{( \pi ^e)}$ y $ \quad e^{( \pi ^{(e^ \pi )})} \ge \pi ^{(e^{( \pi ^e)})}.$

¿Cómo podemos probar estas desigualdades? (Los puntos pueden denotar una torre de poder infinita. Creo que esto no importa.)

$ \boxed {e^{ \left ( \pi ^{ \left (e^{ \left ( \pi ^{ \left (.^{ \left (.^{e^ \pi } \right )} \right )} \right )} \right )} \right )} \ge\pi ^{ \left (e^{ \left ( \pi ^{ \left (e^{ \left (.^{ \left (.^{ \pi ^e} \right )} \right )} \right )} \right )} \right )}}$

o

$ \boxed {e^{ \left ( \pi ^{ \left (e^{ \left ( \pi ^{ \left (.^{ \left (.^{e^ \pi } \right )} \right )} \right )} \right )} \right )} \le\pi ^{ \left (e^{ \left ( \pi ^{ \left (e^{ \left (.^{ \left (.^{ \pi ^e} \right )} \right )} \right )} \right )} \right )}}$

Una pregunta relacionada: $e^{ \left ( \pi ^{(e^ \pi )} \right )}\;$ o $\; \pi ^{ \left (e^{( \pi ^e)} \right )}$ . ¿Cuál es más grande que el otro?

Answer 1

Definir las secuencias $E_n$ y $P_n$ por

$$E_{n+1}=e^{ \pi ^{E_n}} \qquad\text {and} \qquad P_{n+1}= \pi ^{e{^{P_n}}}$$

con $E_1=e^{ \pi }$ y $P_1= \pi ^e$ . Sabemos que $E_1 \gt P_1$ a partir de consideraciones de cálculo elemental (o simplemente por cálculos numéricos directos). Deseamos mostrar que $E_n \gt P_n$ para todos $n$ . Haciendo eso se ocupa de torres de longitud uniforme. Pero también se ocupa de las torres de longitud impar también, ya que $E_n \gt P_n$ y $ \pi\gt e$ juntos implican $ \pi ^{E_n} \gt e^{P_n}$ .

Tengan en cuenta que

$$E_{n+1} \gt P_{n+1} \iff\ln\ln E_{n+1} \gt\ln\ln P_{n+1} \iff E_n \ln\pi\gt P_n+ \ln\ln\pi $$

Así, para terminar una prueba por inducción, basta con mostrar que

$$E_n( \ln\pi -1) \gt\ln\ln\pi $$

para todos $n$ . Pero $E_1 \gt1 $ inicia una mini-inducción $E_{n+1}=e^{ \pi ^{E_n}} \ge e^{ \pi ^{E_1}} \gt e^{ \pi ^1}= E_1$ para todos $n$ así que es suficiente para mostrar

$$e^{ \pi }( \ln\pi -1) \gt\ln\ln\pi $$

Puede haber alguna forma analítica astuta de establecer esta desigualdad sin ningún cálculo desordenado, pero al menos por el momento, observemos que los dos lados no están ni siquiera cerca: $e^ \pi ( \ln\pi -1) \approx3.3491498 $ mientras que $ \ln\ln\pi\approx0.1351687 $ .

Observación: Me he saltado la prueba de que $E_1 \gt P_1$ en parte porque la OP, en la pregunta relacionada, la acepta como conocida, por lo que el interés principal aquí parece ser las tetraciones superiores. Yo y otros dimos respuestas puramente analíticas (no computacionales) allí a la desigualdad que estoy expresando aquí como $E_2 \gt P_2$ . Los enfoques de esas respuestas podrían generalizarse a todos los subíndices $n$ pero no veo cómo. Es por eso que tomé un enfoque parcialmente computacional aquí.

Answer 2

Podemos usar la función $y = x^{{1 \over x}}$ para probar $e^{ \pi } \gt \pi ^e$

$$y = x^{{1 \over x}}$$ Tomando el logaritmo de ambos lados:

$$ \ln y = \frac { \ln x}{x}$$

Diferenciando con respecto a $x$ : $$ \frac {1}{y} \frac {dy}{dx}= \frac {1- \ln x}{x^2}$$

$$ \frac {dy}{dx}= \frac {x^{{1 \over x}}}{x^2}{(1- \ln x)}$$ $$ \frac {dy}{dx}=0$$ $ \implies $ $ \ln x = 1 $ $ \implies x=e$

En $e$ : $$ \frac {d^2y}{dx^2} = \frac {e^{{1 \over e}}}{e^2} \left ( \frac {-1}{e} \right ) \lt 0 $$

$y$ es máximo en $x=e$

Pero $x=e$ es el único valor extremo, por lo tanto $y$ es mejor en $ x=e$

$$e^{{1 \over e}} \ge x^{{1 \over x}} \ , \forall x \gt 0 $$ $$e^{{1 \over e}} \gt \pi ^{{1 \over \pi }}$$ Elevando ambos lados al poder $e \pi $ tenemos

$$ \implies e^ \pi \gt \pi ^e$$