Encontrar la integral siguiente: $\int {{{(\ln x)}^2}} dx$ utilizando el método de integración por partes

Question

Encontrar $\int {{{(\ln x)}^2}} dx$ utilizando el método de integración por partes.

Mi intento:

$$\eqalign{ & \int {{{(\ln x)}^2}} dx = \int {2\ln x} dx \cr & u = \ln x,{\rm{ }}{{du} \over {dx}} = {1 \over x} \cr & {{dv} \over {dx}} = 2,{\rm{ }}v = 2x \cr & así: \cr & \int {{{(\ln x)}^2}} dx = 2x\ln x \int {2x \times {1 \over x}} dx \cr Y = 2x\ln x - 2x + C \cr} $$

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Esta es la respuesta incorrecta, la respuesta correcta es: $$x{(\ln x)^2} - 2x\ln x + 2x + C$$

¿En qué he faltado?

Answer 1

Consejo: prueba $u = \ln x$ y $\frac{dv}{dx} = \ln x$. Luego resolver $dv = \ln x dx$ por integración por las piezas exactamente como lo tienes arriba.

Answer 2

$$\begin{align} \int\log(x)^2\,\mathrm{d}x &=x\log(x)^2-\int 2\log(x)\,\mathrm{d}x\tag{%#%#% and %#%#%}\\ &=x\log(x)^2-2x\log(x)+\int2\,\mathrm{d}x\tag{%#%#% and %#%#%}\\ &=x\log(x)^2-2x\log(x)+2x+C \end {Alinee el} $$

Answer 3

Sugerencia: Aplicar la integración parcial (viz $\displaystyle u(x) v(x) = \int u(x) v'(x)\, \mathrm dx + \int u'(x) v(x) \,\mathrm dx$) a $u = \log x, v' = \log x$.

Answer 4

$$\int {{{(\log x)}^2}} dx $ $ (Para recordar $(\log x)^2\ne \log x^2; (\log x)^2=(\log x)\cdot(\log x)$ $\log x^2=2\log x$) $$\int {{{(\log x)}.(\log x)}} dx $ $ $$(\log x)\cdot\int {{(\log x)}} dx -\int [{d/dx(\log x)}{\int {\log x}dx} ]dx$ $ desde $$\int {\log x}dx=x\log x-x$ $

so $$(\log x)\cdot(x\log x - x) -\int [\frac {1}{x}(x\log x - x)]dx$$ $$(\log x)\cdot(x\log x - x) -\int {(\log x - 1)} dx$$ $$x(\log x)^2 - x\log x -(x\log x - x)+x$$ $$x(\log x)^2 - 2x\log x +2x+C$$