¿Puede alguien guiarme a través de este problema diferencial?

Question

Estoy teniendo un poco de dificultad para entender cómo hacer el 0,05 utilizando diferenciales. Sólo espero que alguien me puede guiar a través de, paso a paso, y explicar por qué son durante de esa manera.

$$\sqrt[3] {27.05}$$

Editar Disculpas a todos, no tenía muy claro lo que preguntaba.

Estaba buscando a alguien que me explicara cómo encontrar una respuesta aproximada a la ecuación anterior utilizando diferenciales. (como ha hecho @Arturo)

@Sasha @Ross Pido disculpas por haceros perder el tiempo al responder a la pregunta usando series.

Answer 1

La filosofía general a la hora de utilizar diferenciales:

Se intenta encontrar el valor de una función en un difícil punto, pero hay un punto, muy cercano al punto difícil, donde la función es fácil evaluar. Entonces se puede utilizar la fórmula $$f(a+\Delta x) = f(a)+\Delta y \approx f(a)+dy = f(a)+f'(a)dx=f(a)+f'(a)(x-a)\quad \text{ for }x\text{ near }a,$$ donde $\Delta x = dx$ es el cambio en $x$ (a qué distancia se encuentra el punto difícil de $a$ que es $x-a$ ), $\Delta y$ es el cambio de valor (que es $f(x)-f(a)$ ), y $dy$ es el diferencial de $y$ (que es $dy = f'(x)dx$ ). Si $\Delta x=dx$ es pequeño, entonces $\Delta y$ está muy cerca de $dy$ por lo que podemos utilizar $dy$ por aproximación.

Así que quieres hacer lo siguiente:

1. Identifique la función que intenta evaluar. Ésta será su $f$ .

2. Encontrar un punto cerca de el punto donde se intenta evaluar donde está la función fácil : este será su $a$ .

3. Compute $f(a)$ (que es supuesto para que sea fácil) y calcular $f'(a)$ (que esperemos que también sea fácil).

4. Introdúcelo en la fórmula.

En este caso, $f(x) = \sqrt[3]{x}$ y el "punto duro" es $x=27.05$ . ¿Hay algún punto $a$ cerca de $x$ donde $f$ ¿es fácil de evaluar? Sí. $f(27)$ es fácil. Así que toma $a=27$ , $\Delta x = dx = .05$ y utilizar la aproximación. Tendrás que calcular $f'(x)$ y $f'(27)$ .

Answer 2

Básicamente te estás expandiendo en una serie de Taylor alrededor de un punto conveniente. $\sqrt[3]{27.05}=\sqrt[3]{27(1+\frac {.05}{27})}=3\sqrt[3]{1+\frac{.05}{27}}\approx 3 (1+\frac{.05}{81})$ . El último paso viene de $(1+x)^n\approx 1+nx$ para $x \ll 1$ y es el primer término de la serie de Taylor.

Answer 3

He aquí una respuesta que parte de la aproximación de la recta tangente, para visualizar mejor la aproximación de las diferenciales. Sea $f(x)=x^{1/3}$ . Entonces $f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}$ .

El punto $x=27$ está muy cerca de $27.05$ y nuestra función es fácil de evaluar en $27$ ya que $27^{1/3}=3$ . Hallemos la ecuación de la recta tangente a $y=x^{1/3}$ en $x=27$ . La pendiente es $(1/3)27^{-2/3}=1/27$ . Por tanto, la ecuación de la recta tangente es $$y-3=(1/27)(x-27),\tag{$ \ast $}$$ o equivalentemente $$y=\frac{x}{27}+2.$$ Recordemos que la recta tangente a $x=27$ besa la curva en $x=27$ . Así que cerca de $x=27$ la línea tangente está muy cerca de la curva. Supongamos que $x=27.05$ . En $y$ -coordenada del punto de la curva con $x$ -coordenadas $27.05$ viene dada aproximadamente por $$\frac{27.05}{27}+2=3+\frac{0.5}{27}.$$ Esa es la aproximación deseada.

Para los diferenciales, lo mejor es volver a $(\ast)$ .
Sea $\Delta x$ sea el cambio en $x$ . En nuestro caso, $\Delta x=0.05$ . Sea $\Delta y$ sea el cambio correspondiente en $y=f(x)$ a medida que pasamos de $x=27$ a $x=27+\Delta x$ . Entonces de $(\ast)$ tenemos $\Delta y\approx \frac{1}{27}\Delta x$ .

Más informalmente, $y+dy\approx y +\frac{dy}{dx}dx$ . Tomamos $dx=0.05$ . Encontramos que en $x=27$ , $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{27}$ . Así que $y+dy\approx 3+\frac{1}{27}(0.05)$ .

La forma exacta de escribir el cálculo depende de la notación que utilice el profesor.