Al leer algunas publicaciones de probabilidad siempre no sé por qué llaman a esto o que la desigualdad una 'concentración desigualdad' o la 'desigualdad de desviación grande'. Para mí estos (concentración de la medida y teoría de la desviación grande) sólo describe el mismo fenómeno. ¿Así que les pido, hay una diferencia formal entre concentración y desviación grandes desigualdades? ¿O estos conceptos realmente diferentes?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Desde mi punto de vista de la concentración de las desigualdades y la gran desviación de la teoría son de hecho diferentes conceptos - pero ya que hay un montón de conocidos de la concentración de las desigualdades que tienen la forma de la gran desviación de las estimaciones no es de extrañar que a veces hay ninguna distinción estricta entre ambas nociones.
La concentración de inequalites son las desigualdades que se une probabilies de las desviaciones de la variable aleatoria $X$ de su media o la mediana, es decir, de límites superiores para las probabilidades de la forma
$$\mathbb{P}\bigg( |X-\mathbb{E}X)| > r \bigg) \quad \text{or} \quad \mathbb{P}\bigg( |X-m(X)| > r \bigg)$$
donde $m(X)$ indica la mediana de $X$. Algunos conceptos básicos de la concentración inequalites son la desigualdad de Markov,
$$\mathbb{E}(|X| \geq r) \leq \frac{\mathbb{E}(|X|)}{r},$$
y el Tschebysheff la desigualdad,
$$\mathbb{E}(|X-\mathbb{E}X| \geq r) \leq \frac{\text{var} \, X}{r^2}.$$
A menudo uno está interesado en la asymptotics de tales probabilites, es decir, la asintótico de la decadencia de
$$\mathbb{P}\bigg( |X_n-\mathbb{E}(X_n)| > r \bigg)$$
como $n \to \infty$. Ahora aquí viene la gran desviación de la teoría en juego: Gran desviación de la teoría de los rendimientos asintótico de las estimaciones de la forma
$$\mathbb{P}\bigg( |X_n-\mathbb{E}(X_n)| > r \bigg) \leq e^{-n I(r)} \tag{1}$$
donde $I(r) \geq 0$ se llama a la función tasa. El Chernoff obligado, la desigualdad de Hoeffding o McDiarmid la desigualdad , son bien conocidos los resultados de este tipo. Esto significa que gran desviación de la teoría proporciona estimaciones exponencial de la escala. Sin embargo, la concentración de las desigualdades no necesitan ser de la forma $(1)$. Un enfoque diferente utiliza lo que se denomina concentración de funciones.
Permítanme por último mencionar que gran desviación de la teoría de las ofertas más generalmente con el comportamiento asintótico de probabilites de la forma
$$\mathbb{P} \bigg( X_n \in A \bigg),$$
para algunos fija $A$, en una escala exponencial, es decir,
$$\mathbb{P} \bigg(X_n \in A \bigg) \approx \exp \bigg(-n \cdot I(A) \bigg).$$
Obviamente, las estimaciones en $(1)$ son un caso particular si elegimos $A=[\mathbb{E}(X_n)-r,\mathbb{E}(X_n)+r]$.
