Un caballo tiene una banda de goma que se le atribuye que puede expandirse infinitamente y se ata a un poste en el otro extremo. Al principio la longitud de la goma es $l$. en el lado del poste de la banda de goma hay un caracol. ¿Si ambos empezar a caminar al mismo tiempo: el caballo en velocidad $u$ y el caracol en velocidad $v$ $u>v$ cuando el caracol captura el caballo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La longitud de la banda de goma en el tiempo $t$$l(t)=l+vt$. La fracción del total de la banda cubiertos por la serpiente en un segundo en el tiempo de $t$$\frac u{l+vt}$. Vamos a integrar este de$t=0$$t=\infty$. Si la integral es menos de $1$, el caracol nunca alcanzará el caballo. Si es $1$ o mayor, se alcanzará el caballo. Ya tenemos $$ \int\frac u{l+vt}\,dt=\frac uv \ln(l+vt) $$ y $\lim_{t\to \infty}\log(1+vt)=\infty$, el caracol se captura el caballo. Esto sucede en el momento $t=T$ para los que $$ \int_{t=0}^{t=T}\frac u{l+vt}\,dt=1\\ \frac uv(\ln(l+vT)-\ln (l))=1\\ \ln\left(\frac{l+vT l}\right)=\frac vu\\ T=\frac{l(e^{\frac vu}-1)}v $$
