Composición de las clases de homotopía con uno mismo-mapas de esferas

Question

Hay algunas reglas generales/fórmulas sobre la relación entre la homotopy clase $[f]\in \pi_i(S^n)$ y el homotopy clase de la composición $S^i\stackrel{a}{\to} S^i\stackrel{f}{\to}S^n\stackrel{b}{\to}S^n$ donde $a,b$ son mapas de grado $d_a,d_b$ respectivamente? Creo que la composición de la con $a$ siempre multiplica $[f]$$d_a$, pero la composición de la con $b$ parece ser la más difícil. Es $[b\circ f]$ siempre un múltiplo de $[f]$?

Al parecer, si $f: S^3\to S^2$ es el mapa de Hopf, la homotopy clase de la composición es $(d_a \times d_b^2) [f]$ (ver este libro, pág. 205). En el establo de la dimensión de la gama, sin embargo, la composición de la con $b$ parece sólo para multiplicar $[f]$$d_b$, si entiendo esto de wikipedia párrafo correctamente (supercommutativity).

Answer 1

(esto no es una respuesta completa, pero para el comentario es demasiado largo)

Para dado (liso) mapa $f:S^3\to S^2$ si usted toma dos valores no críticos $p,q\in S^2$, entonces vincular número de $f^{-1}(p)$ $f^{-1}(q)$ es igual a grado de $f$. Tal vez, algo similar ocurre en el caso $i=2n-1$ % todos $n$.

Y cuando se toma una suspensión de los diagramas $S^i\stackrel{a}{\to} S^i\stackrel{f}{\to}S^n\stackrel{b}{\to}S^n$, de dimensiones estables $i,n$ respuesta a la misma, debido a mapa $\pi_i(S^n)\to\pi_{i+1}(S^{n+1})$ ser sobreyectiva e igualdades $d_{\Sigma a}=d_a$, $d_{\Sigma b}=d_b$.