Un poco de una respuesta a su "Comentario":
Como usted señala, el fracaso de su construcción para golpear todos los $\mu_n$-gerbes se rige por la secuencia exacta
$H^1(X, \mathbb{G}_m) \to H^2(X, \mu_n) \to H^2(X,\mathbb{G}_m)[n] \to 0$ , por lo que para responder a tu pregunta está relacionada con la producción de torsión $\mathbb{G}_m$-torsors.
La pregunta de hacerlo ha sido estudiado como parte de la teoría de Brauer grupos:
Deje $Br(X)$ ("grupo de Brauer"), que indican que el grupo de Azumaya álgebras, que son una generalización de la central de simple álgebras sobre un campo (que es el clásico grupo de Brauer).
Deje $Br'(X)$ ("Cohomological Brauer grupo") se refieren a la torsión parte de $H^2(X, \mathbb{G}_m)$.
En el caso de $X = Spec k$, $k$ un campo, la equivalencia de estos dos grupos es clásica y que puede ser calculado en varios de los casos de número de la teoría de interés (por ejemplo, los campos de número de locales/campos/campos finitos). En este caso, $H^1(X, \mathbb{G}_m)=0$ por Hilbert Teorema de los 90, y sin embargo hay un montón de ejemplos en $Br(X)$ es mucho no trivial. Grothendieck estudiado la relación entre el $Br(X)$ $Br'(X)$ en general en Dix Expone. El resultado de todo esto es que hay un inyectiva mapa de $Br(X) \to Br'(X)$ y es un isomorfismo en casos razonables (por ejemplo, creo $X$ cuasi-proyectivo sobre un campo). (Ver Dix Exp, o Ch. IV de Milne "Etale Cohomology".)
No voy a decir más sobre el panorama general, pero voy a trabajar en detalle el caso simple de $X = Spec \mathbb{R}$. En este caso, $Br(Spec \mathbb{R}) = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ generado por la clase de los habituales de cuaterniones, considerada como una central de simple álgebra $\mathbb{R}$. Podemos dar una descripción geométrica de la resultante de $\mathbb{G}_m$-torsor:
Empezar con el buen plano cónica $C = Proj \mathbb{R}[x,y,z]/(x^2+y^2+z^2)$. Es un buen género $0$ curva, pero no tiene la $\mathbb{R}$-puntos y por lo tanto no es isomorfo a $\mathbb{P}^1_{\mathbb{R}}$. Sin embargo, después de la base de cambio de a $\mathbb{C}$ se llega a un punto y se convierte así en isomorfo a $\mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$; tal Galois retorcida forma de $\mathbb{P}^n_{\mathbb{C}}$ es conocido como un Brauer-Severi variedad y los elementos de la Brauer-grupo (de campo) puede también considerarse como correspondientes a ellos (la estructura del grupo es un poco extraño). Desde $Aut(\mathbb{P}^n) = PGL_{n+1}$, estos corresponden a $PGL_{n+1}$-torsors y la relación con el $\mathbb{G}_m$-torsors es a través de la secuencia exacta para $PGL_{n+1}=GL_{n+1}/\mathbb{G}_m$. Así, una $T$-punto de la correspondiente $\mathbb{G}_m$-torsor para un $\mathbb{R}$- $T$ se compone de los siguientes datos:
Es un rango de $2$ vector paquete de $V$$T$, junto con un isomorfismo de $T$-esquemas $C_T \simeq \mathbb{P}(V)$ donde $C_T = C \times_{Spec \mathbb{R}} T$ es el retroceso de nuestro género $0$ curva de a $T$, e $\mathbb{P}(V)$ es el asociado proyectiva del espacio (aquí $\mathbb{P}^1$) de paquete de vector paquete de $V$.
¿Por qué es este un $\mathbb{G}_m$-gerbe? Bien, $\mathbb{P}(V) \simeq \mathbb{P}(V')$ fib $V$ $V'$ difieren por tensoring por una línea de paquete. La gerbe no es trivial ya que no tiene la $\mathbb{R}$de los puntos, ya que $C$ sí no es isomorfo al espacio proyectivo. Ha $\mathbb{C}$-puntos debido a que la base de cambio es isomorfo al espacio proyectivo.
