¿Cómo puedo escribir el axioma de la especificación como una oración?

Question

Comencé a leer a Paul Halmos' "Ingenua Teoría de conjuntos", y se encontró con el "Axioma de Especificación".

Para cada conjunto de $A$ y para cada condición de $S(x)$ le corresponde un conjunto $B$ cuyos elementos son exactamente los elementos $x$ $A$ que $S(x)$ mantiene.

Anteriormente en la misma sección, me enteré de que las declaraciones que en teoría debería ser "oraciones". Una frase fue definido por

Hay dos tipos básicos de oraciones, es decir, afirmaciones de pertenencia, $x \in A$, y las afirmaciones de la igualdad, $A = B$; todas las demás oraciones son obtenidos a partir de tales atómica oraciones por aplicaciones repetidas de la habitual operadores lógicos...

Una definición más completa de una frase siguiente, que se pueden leer en la búsqueda de Libros de Google aquí: http://goo.gl/XvK2B

Traté de traducir los axiomas y teoremas en el libro en las oraciones, pero parece que el Axioma de Especificación no es una frase. Se refiere a "todas las condiciones", pero no tengo manera de construir una frase que se refiere a "todas las condiciones", porque la atómica frases se refieren sólo a los conjuntos.

Es el Axioma de Especificación de una frase? Si no, ¿eso quiere decir que las declaraciones acerca de la teoría de conjuntos no deben ser frases? ¿Qué otros tipos de sentencias son permitidos? (Yo estoy usando la "declaración" coloquialmente como yo no sé el término técnico.)

Answer 1

$$\forall A, \forall S, \exists B ; x \in A, x \in S \Rightarrow x \in B \text{ and } x \in B \Rightarrow x \in A, x \in S$$

Leer como: "todos $A$, para todos los $S$, existe $B$ tal que, si es $x$ $A$ y $x$ $S$, entonces también en $x$ $B$ y, si es de $x$ $B$, entonces es $x$ $A$ y $x$ se encuentra en $S$".

(Decir que un % de propiedad $S(x)$es cierto se traduce generalmente como $x \in S$).

Answer 2

El axioma de especificación no es una frase. Es un "axioma esquema", es decir, que es una familia de las sentencias. Esta es una de las cosas que se vuelve más claro cuando se mueve a la teoría de conjuntos axiomática, en lugar de la ingenua teoría de conjuntos.

Para cada frase, $S(x)$ que no hace mención de $B$, el axioma de especificación incluye el axioma de $$ \forall \existe B \forall x \in B \Leftrightarrow x \in A \de la tierra S(x)). $$

Lo que ese axioma que dice, de manera informal, es que dado un conjunto $A$ y una definición $S$ de un subconjunto de a $A$, que el subconjunto que realmente existe. El esquema es un poco más general que el anterior fórmula, debido a que el esquema permite oraciones con "parámetros".

La restricción de que el $S$ no hace mención de $B$ es para evitar las paradojas. De lo contrario, tendríamos como un axioma (dejando $A = \{0\}$ y dejando $S$"$x \not \in B$") $$ \existe B \forall x \in B \Leftrightarrow x \in \{0\} \de la tierra x \no \B). $$ Ese conjunto es paradójico - contiene 0 si y sólo si no contiene $0$.

La razón por la que no podemos cuantificar sobre las oraciones es que la teoría de conjuntos se formaliza mediante el sistema lógico de "primer orden de la lógica". Ese sistema no es capaz de cuantificar sobre las oraciones. Esto no es una elección arbitraria; la imposibilidad de cuantificar sobre las oraciones es un resultado necesario de ciertas propiedades lógicas de la lógica de primer orden que son deseables. Hay otras lógicas en las que uno puede cuantificar sobre las oraciones, pero estas lógicas no tienen buenas propiedades (y algunos han argumentado que estas lógicas de sí mismos incluyen la teoría de conjuntos).

Todo esto se explica, en gran detalle, en los libros sobre la teoría de conjuntos axiomática. Una razonable libro de Levy Básicos de la teoría de conjuntos. El estándar de posgrado de libros de texto es Kunen de la teoría de conjuntos: una introducción a la independencia de las pruebas, y puede ser usada para aprender la teoría de conjuntos axiomática, pero es un poco escueto en el principio y es mejor como un segundo libro sobre la teoría de conjuntos axiomática, en mi opinión.