¿Qué es exactamente la diferencia entre un derivado y un total de derivados?

Question

Yo no soy demasiado basa en la diferenciación, pero hoy en día, yo estaba planteado con una supuesta pregunta fácil $w = f(x,y) = x^2 + y^2$, donde $x = r\sin\theta $ y $y = r\cos\theta$ exigir la solución a $\parcial w / \parcial de r$ y $\parcial w / \partial \theta $. Simplemente he resuelto el ex usando la identidad trigonométrica $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, lo que da como resultado $\parcial w / \partial r = 2r$.

Sin embargo me dijeron que esta solución no podría ser aplicado a esta pregunta porque yo debería ser la solución para que el total de derivados. No pude encontrar ningún buen recurso en línea para explicar claramente la diferencia entre una normal derivado y un total de derivados y por qué mi solución fue mal. ¿Hay alguien que podría explicar la diferencia para mí con un ejemplo práctico? Gracias!

Answer 1

La diferencia clave es que cuando se toma una derivada parcial, que operan bajo una especie de suposición de que usted mantenga una variable fijo, mientras que los otros cambios. Cuando el cómputo total de derivados, que permiten cambios en una variable afecta a la otra.

Así, por ejemplo, si usted tiene $f(x,y) = 2x+3y$, entonces al calcular la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}$, asumir temporalmente $y$ constante y hay que tratarlo como tal, dando $\frac{\partial f}{\partial x} = 2 + \frac{\partial (3y)}{\partial x} = 2 + 0 = 2$.

Sin embargo, si $x=x(r,\theta)$ y $y=y(r,\theta)$, entonces la suposición de que $y$ se mantiene constante cuando $x$ cambios ya no es válida. Desde $x = x(r,\theta)$, entonces si $x$ cambios, esto implica que al menos uno de $r$ o $\theta$ cambio. Y si $r$ o $\theta$ cambio, entonces $y$ los cambios. Y si $y$ los cambios, entonces, obviamente, tiene algún tipo de efecto sobre la derivada y ya no podemos asumir que ser igual a cero.

En tu ejemplo, se le da $f(x,y) = x^2+y^2$, pero lo que de verdad es la siguiente:

$f(x,y) = f(x(r,\theta),y(r,\theta))$.

Así que si usted calcular $\frac{\partial f}{\partial x}$, usted no puede asumir que el cambio en la $x$ calculada en este derivado no tiene ningún efecto sobre un cambio en $y$.

Lo que usted necesita para calcular lugar es $\frac{\rm{d} f}{\rm{d}\theta}$ y $\frac{\rm{d} f}{\rm{d} r}$, el primero de los cuales puede ser calculada como:

$\frac{\rm{d} f}{\rm{d}\theta} = \frac{\partial f}{\partial \theta} + \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\rm{d} x}{\rm{d} \theta} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\rm{d} y}{\rm{d} \theta}$

Answer 2

Sé que esta respuesta es muy demorada; pero sólo para sumarise el último post.

Si yo te di la función

$$ f(x,y) = sin(x)+3y^2$$

Y preguntado por la derivada parcial con respecto a x, se debe escribir:

$$ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = cos(x)+0$$

Puesto que y es, efectivamente, una constante con respecto a x. En otras palabras, la sustitución de un valor y no tiene ningún efecto sobre x. Sin embargo, si yo le preguntara a usted para el total de la derivada con respecto a x. Usted debe escribir:

$$\frac{df(x,y)}{dx}=cos(x)\cdot {dx\más de dx} + 6y\cdot {dy\más de dx}$$

Por supuesto, he utilizado la regla de la cadena en la parte inferior de caso. Usted no escribe $dx\más de dx$ en práctica, ya que es uno solo, pero necesita darse cuenta de que es lo que hay :)

Answer 3

¿Todo el mundo está de acuerdo que el cartel llegó a la respuesta correcta?

La gente escribe $$\frac{\partial}{\partial t}g(x(t),t)$$ o $$\frac{\text{d}}{\text{d} t}g(x(t),t)$$

La primera se utiliza normalmente para referirse a "la derivada de la función $g$ con respecto al segundo argumento". El segundo significa normalmente que el "total de derivados". Hay variaciones de este. Algunas personas omiten los argumentos y solo escribe, por ejemplo, $\frac{\partial}{\partial t}g$

Así, por ejemplo: si $x$ es el secreto de una función de $t$, entonces la notación $\frac{d}{dt}f(x,t)$ es llamado el total de derivados y es una abreviatura para el (de una sola variable derivados) $g'(t)$ donde $g(t)=f(x(t),t)$. En la aplicación de la regla de la cadena para la última expresión, usted necesita una cierta manera para denotar "la derivada de f con respecto a su primer argumento" mucha gente podría escribir $\frac{\partial}{\partial x}f$ para esto, pero en muchos casos esto es algo confuso, tal y como explico en el ejemplo de abajo.

La amplia notación matemática aquí confunde a muchas personas y creo que es bastante innecesario el uso. Si usted quiere tomar un total de derivados, construir explícitamente la función ($g$ arriba) y tomar una sola variable derivada. De lo contrario, las explicaciones para la diferencia entre el total y los parciales derivados de las necesidades de usted para hacer de apelaciones como temporalmente la fijación de variables o se dice que una variable es, efectivamente, constante o la conmutación entre el pensamiento de $x$ como función y como una expresión. Todos estos son molestas cosas que usted puede hacer correctamente una vez que ya se siente cómodo con lo que está pasando. Pero por lo demás, vale la pena pensar cuidadosamente acerca de lo que realmente sucede.

Su ejemplo

El problema se deriva de la confluencia de una expresión y una función. Esto se hizo cuando escribió $w = f(x,y) = x^2 + y^2$. En ese caso, muchos van a escribir

$\frac{\partial}{\partial x}w$ y

$\frac{\partial}{\partial x} f(x,y)$

(que son equivalentes). Este tipo de sentido. En ambos casos, la cosa a la derecha del operador diferencial es una expresión que contiene $x$ y $y$. La cosa que es producida por la aplicación de ese operador es también una expresión en las mismas variables. Esto también es cierto de lo que $\frac{d}{dx}$ significa. Para las expresiones particulares de arriba, sólo quiero usar que.

El propósito real de la derivada parcial es tomar derivados de las funciones con respecto a uno de sus argumentos, no de expresiones. Que no lo que pasa arriba. Que es lo que pasa cuando la gente escribe:

$\frac{\partial}{\partial x} f$.

$f$ no es una expresión. Se trata de una función. Yo personalmente no me gusta este tipo de notación. Usted podría haber definido una idéntica $f$ por escrito $f(a,b) = a^2 + b^2$. Las variables que aparecen en la definición de una función, en el sentido más estricto, invisible para el resto del mundo. Es sólo una manera conveniente de afirmar "$f$ es una función que toma dos argumentos. Que las plazas de la primera, las plazas de la segunda, y devuelve la suma de los cuadrados". En lugar de tener que escribir la frase (que la gente tenía que hacer antes de la invención de mejor notation), usted puede en lugar de dar nombres a los argumentos de $f$, de modo que usted puede fácilmente hacer referencia a ellos cuando la definición de $f$.

Pero cuando se escribe $\frac{\partial}{\partial x} f$, entonces usted está usando un poco de conocimiento de cómo se define $f$---que usted escogió el nombre de $x$ para el primer argumento. Puede ser útil tener nombres de los argumentos de la función en lugar de sólo en referencia a su posición (primero, segundo, etc. argumento), y es por eso que el parcial de notación sobrevive, pero creo que la notación necesita mejorar para esto.

Lo que normalmente significa que cuando se escribe $\frac{\partial}{\partial x} f$ es aproximadamente "la función que toma dos argumentos y devuelve la sensibilidad de $f$, con respecto a su primer argumento". Así que si estás en algún punto $(a,b)$ o $(x,y)$ o lo que sea, y mueves el primer argumento de $un$ o $x$, ¿cuánto cuesta la salida de $f$ meneo? Esa es la pregunta que el gradiente de una función se supone que la respuesta. Esta es, probablemente, lo que significa que si ellos dicen "normal derivado" Ellos están pensando en una sola función, con la posibilidad de múltiples argumentos. Y ellos están tratando de hacer que un objeto que indica el grado de sensibilidad de la salida de la función es un cambio en cada una de las entradas.

El total de derivados, por lo general significa que en algún lugar has definidas implícitamente algunas nuevas funciones. En este caso, se han hecho las funciones de $x(r,\theta) = r \sin(\theta)$ y $y(r,\theta) = r \cos(\theta)$, y usted puede componer estas funciones, haciendo una nueva función: $$g(r,\theta) = f(x(r,\theta),y(r,\theta))$$

Aviso de nuevo, que $r$ y $\theta$ son elegidos sólo para dar a un ser humano de la información acerca de la connotación de esta función. Si se procesaron las cosas puramente simbólico, a continuación, la definición de $g$, podría haber sido

$$g(input_1,input_2) = f(x(input_1,input_2),y(input_1,input_2))$$

Y así, cuando el problema le preguntó a encontrar $\frac{\partial}{\partial r} w$, hay dos, en el extremo idénticos, la interpretación de lo que significa. Construir la función $g$ como lo hice anteriormente, y el informe de su sensibilidad con respecto al primer argumento. O sustituir las expresiones para $x$ y $y$ en la expresión para $w$. Ahora usted tiene una expresión para $w$ en $r$ y $\theta$. Yo prefiero el enfoque que piensa acerca de las funciones. Esta es la manera de organizar el código y creo que así es como debemos organizar las matemáticas. Cuando se trata de expresiones, efectivamente tienes un montón de variables globales.

Entonces, ¿cómo podemos calcular $\partial_1 g$, que es sólo la notación para "hacer una función con el mismo arity (número de entradas) $g$, que evalúa la derivada de la función $g$, con respecto a su primer argumento"? Es sólo la regla de la cadena.

$$[\partial_1 g](r,\theta) = [\partial_1 f](x(r,\theta), y(r,\theta)) \cdot [\partial_1 x](r,\theta) + [\partial_2 f](x(r,\theta), y(r,\theta)) \cdot [\partial_1 y](r,\theta)$$

Podemos ver por qué pensar acerca de las cosas de esta manera no es popular! Pero esta es la más clara, la mayoría de los mecánicos, de manera de pensar. De lo contrario, usted está confiando en implícita descriptivo de $x$ como función y como una expresión. Elija uno y palo con ella!

De todos modos, para simplificar la definición anterior, que no se preocupan por las definiciones de $f$, $x$, $y$, tenemos que utilizar las definiciones.

$f(x,y) = x^2 + y^2$ y por lo tanto

• $[\partial_1 f](x,y) = 2x$
• $[\partial_2 f](x,y) = 2y$

$x(r,\theta) = r\sin(\theta)$ y por lo tanto

• $[\partial_1 x](r,\theta) = \sin(\theta)$

del mismo modo

• $[\partial_1 y](r,\theta) = \cos(\theta)$

ADEMÁS, a pesar de que no necesita en el momento

• $[\partial_2 x](r,\theta) = r\cdot \cos(\theta)$
• $[\partial_2 y](r,\theta) = -r\cdot \sin(\theta)$

Así que, de nuevo, la función es

$$[\partial_1 g](r,\theta) = [\partial_1 f](x(r,\theta), y(r,\theta)) \cdot [\partial_1 x](r,\theta) + [\partial_2 f](x(r,\theta), y(r,\theta)) \cdot [\partial_1 y](r,\theta)$$

la sustitución de las funciones que acabamos de computada:

$$[\partial_1 g](r,\theta) = 2x(r,\theta) \cdot \sin(\theta) + 2y(r,\theta) \cdot \cos(\theta)$$

y la sustitución de $x$ y $y$

$$[\partial_1 g](r,\theta) = 2r\sin(\theta) \cdot \sin(\theta) + 2r\cos(\theta) \cdot \cos(\theta)$$

que, después de usar el muy trig identidad que utiliza, es

$$[\partial_1 g](r,\theta) = 2r$$

Sin embargo, otra manera de hacer el mismo punto:

Cuando vea la notación $g'(x)$, usted puede grupo que como $[g'](x)$. Usted ha hecho una nueva función, llamada "g prime", que es el derivado de $g$, y se está evaluando en el punto $$ x. $g'(y)$ significa la misma cosa, excepto que está evaluando en el punto $ $ y$. El multidimensionales analógica de este es de $\nabla g(\mathbf{x})$. Usted debe analizar que como $[\nabla g](\mathbf{x})$.

Este no es el caso con la notación $\frac{d}{dx} g(x)$. Si se analiza que como $[\frac{d}{dx} g](x)$, te confundes porque lo que hace $x$ significar en el ámbito de los soportes? Usted no tiene que dar sentido porque debe ser sin sentido. El operador $\frac{d}{dx}$ se aplica a una expresión, no una función.

Pero, lo que la gente va a hacer es definir de forma rutinaria

$g(x)= x^2+sin(x)+\text{cualquier expresión en }x$

y, a continuación, escriba $\frac{d}{dx} g(y)$ cuando en realidad debería haber escrito $g'(y)$. No hacer esto muy a menudo en la única variable de caso, pero que lo hacen de la multi-variable de caso. Yo sólo mostró la única variable de caso, ya que es más claro para ver el problema.

Mi inspiración para esta respuesta viene de la http://groups.csail.mit.edu/mac/users/gjs/6946/sicm-html/book-Z-H-78.html#%_sec_Temp_453)

Answer 4

Derivada parcial es la derivada de una función con varias variables independientes con respecto a cualquiera de ellos, manteniendo las demás constantes.

Los símbolos $ \dfrac{\partial}{\partial x}, \dfrac{\partial}{\partial y} $ se utiliza para denotar tales diferenciaciones.

Y las expresiones de $ \dfrac{\partial u}{\partial x}, \dfrac{\partial u}{\partial y} $ se llaman derivadas parciales de coeficientes de $u$, con respecto a $x$ y $y$.

Por lo tanto, si $u=f(x,y)$, entonces $ \dfrac{\partial u}{\partial x} $ se puede calcular mediante la diferenciación de $u$, con respecto a $x,$ mantener $$ y constante.

Mientras que en el caso del Total de derivados, nosotros no asuma que el resto de variables constantes, el cambio con respecto al cambio en la variable también se toma en consideración.

Por lo tanto, si $u=f(x,y)$, donde $x=\phi_1(t)$ y $y=\phi_2 (t)$, que se puede calcular como:

$ \dfrac{du}{dt} =$ $ \dfrac{\partial u}{\partial x}. $ $ \dfrac{dx}{dt} $ + $ \dfrac{\partial u}{\partial y}. $ $ \dfrac{dy}{dt} $

Por lo tanto, si $x$ y $y$ a depender de $t$, entonces el cambio en $x$ conducirá a un cambio en $t$, que a su vez conducirá a cambio de $$ x (desde $y$ en función de $t$), por lo tanto, la fórmula mencionada anteriormente.

En su pregunta, Ya que $x$ y $y$ a depender de $\theta$ (Suponiendo que $r$ es una constante), por lo que para encontrar el total derivado de $f(x,y)$ con respecto a $\theta$ , aparte de las derivadas parciales de $u$, con respecto a $x$ y $y$ que usted tendrá que considerar el cambio en $x$, así como el cambio en $y$ con respecto a $\theta$.

Resumiendo todo esto:

Total de derivados es una medida de la variación de todas las variables, mientras que la derivada Parcial es una medida de la variación de una variable en particular tener a otros a mantenerse constante.

Espero que esto ayude!

Answer 5

Puede ser más fácil imaginar una figura con ortogonales x e y las coordenadas de la base y un resultado funcional (por ejemplo, una función de w, de dos variables x y y) se representa como una superficie en el eje vertical. Si nos fijamos en el resultado de un cambio en la función que se obtiene al mantener y constante y vamos x varían, es una tangente a la superficie de la rebanada tomada a través de esa superficie paralela al eje x. Por supuesto, llegar a un equivalente de imagen para dejar y varían, pero manteniendo x constante. Ahora imagine un cambio en la función, pero estamos dejando a ambos x e y varían simultáneamente, delta w es el cambio en w y, básicamente, se resumen los cambios en la función para obtener delta w, del w =f(x + delx, y + supr y) - f(x,y), si ampliamos para del w y vaya hasta el límite que nos dan para el dw = la derivada parcial respecto de x veces dx plus la derivada parcial respecto de y veces dy. Si x e y son funciones de una sola variable t, entonces también lo es w, y podemos dividir cada término por el dt, que es el total de la derivada respecto a t de la función.

Este es el clásico ejemplo de los conceptos básicos y se puede encontrar una versión de aquí:-

https://www.math.uwaterloo.ca/~ahamadeh/math217_p2.pdf

Para un buen ejemplo ilustrativo me gusta la tasa de cambio de una ampliación del volumen del cilindro, V está dada por V= (PI)(r^2)(h), r = radio h = altura, ahora uso la idea anterior expresión para delta w, pero aquí su delta V, divide ambos lados por delta t y, a continuación, deje que delta t van a cero.

Sólo se pone un poco más complicado cuando hacemos uso de la metodología para encontrar diferencial de coeficientes de funciones implícitas, pero podemos utilizar otros métodos similares. Ejemplos de libro que a menudo permiten a z soporte para la función de x y de y, a continuación, sólo la forma de delta z ('normal') dividir ambos lados por delta x y vamos a delta x ir a cero, dando una expresión para dz/dx. A menudo se le da información sobre z, puede ser z = 0 (constante) por lo dz/dx = 0.

Si se agregan a estas ideas el cambio de variable idea, que es un poco más de lo mismo realmente, por ejemplo, dicen que z es una función de x, y y z = f(x,y) y x y y son a su vez funciones de dos variables u y v , entonces z es una función de u y v, por lo que la forma de delta z como "normal" en cuanto a los parciales de diff de z respecto de x veces delta x y parcial diff de y veces delta y dividir ambos lados por delta u y vamos a delta u got a cero, v se mantiene constante por el momento. Que le da el diferencial parcial de z respecto de u, y se sigue el mismo procedimiento para obtener una expresión para la diferencial parcial de z wrt v .

Con estos que tienen la mayoría de las herramientas básicas para manejar este tipo de problemas, y supongo que la respuesta básica a la pregunta es que tiene una función implícita, de modo que cuando usted desea que el cambio en la función cuando x es variable tiene que agregar en la 'extra' de bits. El concepto aparece en un número de lugares, puede ser su función se describe la temperatura de un elemento de volumen, su enfriamiento con el tiempo, pero también en movimiento y la distribución espacial de las coordenadas de llevar cerca de una fuente de calor, así que tienes que añadir los dos efectos. Así que si usted no tiene cuidado, se olvida de que 'extra' espacial plazo y sólo tiene el 'puro' tiempo de plazo.

Disculpas por la palabrería de esta respuesta, pero sólo tal vez un medio razonable idea de lo que está pasando ha sido transmitido (por el tiempo me imagino toda la función de la superficie de la alteración de la forma con el tiempo en 3 D tal vez sólo podemos tener instantáneas en el tiempo.).