Demostrar que $\beta \rightarrow \neg \neg \beta$ es un teorema que utiliza los axiomas estándar 1,2,3 y MP

Question

He demostrado que $\neg \neg \beta \rightarrow \beta$ es un teorema, pero no encuentro la manera de hacer lo mismo para $\beta \rightarrow \neg \neg \beta$ .

Parece que la prueba utilizaría el axioma 2 y el teorema de la deducción (que permite $\beta$ ser un axioma)-pero he probado infinidad de valores en vano.

Axioma 1: $A \rightarrow ( B \rightarrow A )$ .

Axioma 2: $( A \rightarrow ( B \rightarrow C ) ) \rightarrow ( ( A \rightarrow B ) \rightarrow (A \rightarrow C) ) $ .

Axioma 3: $( \neg B \rightarrow \neg A) \rightarrow ( ( \neg B \rightarrow A) \rightarrow B )$ .

Para aclarar: A, B, C, $\alpha$ y $\beta$ son proposiciones (es decir, se les asigna Verdadero o Falso). $\rightarrow$ y $\neg$ tienen los significados lógicos estándar.

Nota: $\TeX$ ificación no funciona en la versión beta de IE9.

Answer 1

Usaré el teorema de la deducción, así que asumiré $\beta$ y necesitan demostrar $\neg\neg\beta$ .

1. $\beta$ (supuesto)

2. $\beta\to (\neg\neg\neg\beta\to\beta)$ (axioma 1)

3. $\neg\neg\neg\beta\to\beta$ (modus ponens utilizando 1 y 2)

4. $\neg\neg\neg\beta\to\neg\beta$ (ha demostrado que $\neg\neg\beta\to\beta$ es un teorema)

5. $(\neg\neg\neg\beta\to\neg\beta)\to((\neg\neg\neg\beta\to\beta)\to\neg\neg\beta)$ (axioma 3)

6. $(\neg\neg\neg\beta\to\beta)\to\neg\neg\beta$ (modus ponens utilizando 4 y 5)

7. $\neg\neg\beta$ (modus ponens usando 3 y 6)

Answer 2

$A \rightarrow \lnot \lnot A$ es intuitivamente válido. Por lo tanto, usted debe ser capaz de demostrar que ya de MP más Axioma 1 y Axioma 2 más Ex Falso Quodlibet (Un axioma que equivale a $\bot \rightarrow A$ ). No es necesario utilizar Axioma 3.

Pero hay un giro, tienes que representar a $\lnot A$ como $A \rightarrow \bot$ . Aquí puedes ver una prueba de estilo Hilbert de $A \rightarrow ((A \rightarrow \bot) \rightarrow \bot)$ :

Necesitamos primero un pequeño lema, a saber, que $A \rightarrow A$ es derivable:

1: $(A \rightarrow ((B \rightarrow A) \rightarrow A)) \rightarrow ((A \rightarrow (B \rightarrow A)) \rightarrow (A \rightarrow A))$ (Axioma 2)
2: $A \rightarrow ((B \rightarrow A) \rightarrow A)$ (Axioma 1)
3: $(A \rightarrow (B \rightarrow A)) \rightarrow (A \rightarrow A)$ (MP 1, 2)
4: $A \rightarrow (B \rightarrow A)$ (Axioma 1)
5: $A \rightarrow A$ (MP 3, 4)

Ahora podemos probar lo que deseemos:

1: $(A \rightarrow (((A \rightarrow \bot) \rightarrow A) \rightarrow ((A \rightarrow \bot) \rightarrow \bot))) \rightarrow ((A \rightarrow ((A \rightarrow \bot) \rightarrow A)) \rightarrow (A \rightarrow ((A \rightarrow \bot) \rightarrow \bot)))$ (Axioma 2)
2: $(((A \rightarrow \bot) \rightarrow A) \rightarrow ((A \rightarrow \bot) \rightarrow \bot)) \rightarrow (A \rightarrow (((A \rightarrow \bot) \rightarrow A) \rightarrow ((A \rightarrow \bot) \rightarrow \bot)))$ (Axioma 1)
3: $((A \rightarrow \bot) \rightarrow (A \rightarrow \bot)) \rightarrow (((A \rightarrow \bot) \rightarrow A) \rightarrow ((A \rightarrow \bot) \rightarrow \bot))$ (Axioma 2)
4: $(A \rightarrow \bot) \rightarrow (A \rightarrow \bot)$ (Lema)
5: $((A \rightarrow \bot) \rightarrow A) \rightarrow ((A \rightarrow \bot) \rightarrow \bot)$ (MP 3, 4)
6: $A \rightarrow (((A \rightarrow \bot) \rightarrow A) \rightarrow ((A \rightarrow \bot) \rightarrow \bot))$ (MP 2, 5)
7: $(A \rightarrow ((A \rightarrow \bot) \rightarrow A)) \rightarrow (A \rightarrow ((A \rightarrow \bot) \rightarrow \bot))$ (MP 1, 6)
8: $A \rightarrow ((A \rightarrow \bot) \rightarrow A)$ (Axioma 1)
9: $A \rightarrow ((A \rightarrow \bot) \rightarrow \bot)$ (MP 7, 8)

La prueba dada muestra algo aún más contundente, $A \rightarrow \lnot \lnot A$ no sólo es intuitivamente válida, sino que ya es válida en lógica mínima, puesto que no hicimos uso de Ex Falso Quodlibet. Pudimos derivarlo de MP más el Axioma 1 y el Axioma 2.

Saludos cordiales