Presentación de

Question

Es la presentación del grupo diedro $D_{2n}$

$$D_{2n}= \langle r,s \mid r^{n}=s^{2}=1, rs=sr^{-1} \rangle.$$

¿Por qué es incorrecto concluir que $r=s=1$? En otras palabras por qué no esta presentación describe el Grupo trivial.

Answer 1

Llame a $G$ el grupo dada por la presentación. A continuación, puede mostrar que existe un homomorphism $\phi:G\to\mathrm{GL}_2(\mathbb R)$ que se asigna a $s$ $S=\left(\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\end{smallmatrix}\right)$ $r$$R=\left( \begin{smallmatrix} \cos (\theta ) & -\sin (\theta ) \\ \sin (\theta ) & \cos (\theta ) \end{smallmatrix} \right)$ with $\theta=2\pi/n$; to check this, you have to use the characteristic property of group presentations, and verify that matrices $S$ and $R$ satisfy the same relations as the generators $s$ and $r$.

Ahora, desde la $\phi(s)\neq I$$\phi(r)\neq I$, de ello se sigue, por supuesto, que $s\neq 1_G$$r\neq 1_G$.

(Usted también puede encontrar fácilmente dos de identidad no permutaciones $\rho$, $\sigma\in S_n$ que satisfacen las relaciones, y la construcción de un mapa de $g:G\to S_n$ tal que $g(s)=\sigma$$g(r)=\rho$, dando otra prueba de que $r\neq 1_G$$s\neq 1_G$.)

PD Este es otro ejemplo canónico de las cosas que desea que el grupo de representaciones.

Answer 2

Un grupo dado por la presentación de $G=\langle X|R\rangle$ es, por definición, la más general de grupo con un set de generación de energía $X$ y la satisfacción de las relaciones $R$. Digamos, para simplificar, que el$X=\{x_1,\ldots,x_n\}$$R=\{r_1(x_1,\ldots,x_n),\ldots,r_m(x_1,\ldots,x_n)\}$. Siendo el "más general" grupo de con $n$ generadores $x_1,\ldots,x_n$ que satisfacen las $m$ relaciones $r_1,\ldots,r_m$ significa que dado cualquier grupo $H$ con elementos $h_1,\ldots,h_n$ que $r_i(h_1,\ldots,h_n)=1$$i=1,\ldots,m$, habrá un (único) grupo homomorphism de $G$ $H$que se asigna a $x_i$ $h_i$. Es como el "free-est grupo" con elementos $x_1,\ldots,x_n$, sometido sólo a las relaciones en $R$. (La magia de las palabras se Van Dyck del Teorema)

Lo que se observa es que si tomamos $H$ a ser el trivial grupo, y $h_1,\ldots,h_n$ a ser el elemento trivial, entonces todas las relaciones están satisfechos; pero esto no digo que el trivial grupo es el más general de grupo que satisface las condiciones dadas, sólo indica que el trivial grupo es un cociente de la mayoría de los generales del grupo que satisface las condiciones dadas (como debe ser, ya que el trivial grupo es un cociente de todo).

En el caso de la diedro grupo $D_{2n}$ usted está buscando el más general de grupo que tiene un elemento de orden dividiendo $n$, un elemento de orden dividiendo $2$, y de tal manera que los elementos de satisfacer la relación $sr = r^{-1}s$ (que puede ser escrito como $srsr=1$). El trivial grupo sin duda satisface esas relaciones, pero no es lo más general que se hace (por ejemplo, si $n$ es incluso, puede ver el $H=C_2\times C_2$, e identificar las $r$$(1,0)$$s$$(0,1)$). Cada vez que encuentre un grupo y los elementos que satisfacen el dado de las relaciones, ha encontrado un mapa desde el grupo presentó al grupo que se encuentra, pero que no necesariamente se encuentra el grupo presentó.

Para saber realmente de que ha encontrado la "más general de grupo" que satisface las condiciones dadas no es siempre trivial. Es una manera de mostrar que el grupo en que se encuentra ( $G$ , con elementos de $g_1,\ldots,g_n$ jugando los roles de la $x_i$) tiene la propiedad atribuido al grupo presentado por la presentación: dado cualquier grupo $H$, y los elementos $h_1,\ldots,h_n$ $H$ que satisfacer $r_1,\ldots,r_m$$H$, no existe un único grupo de homomorphism de su grupo $G$ a $H$ que se asigna a$g_i$$h_i$. El trivial grupo no tiene esta propiedad para la presentación dada en $D_{2n}$, por lo que no puede ser $D_{2n}$.

Otro método que funciona a veces es encontrar una "forma normal" para los elementos del grupo se presentan, permitiendo contar exactamente cuántos elementos hay. Esto no es difícil de hacer en $D_{2n}$: cada elemento de a $D_{2n}$ se puede escribir como un producto de potencias de $r$ los tiempos de los poderes de $s$. El uso de las reglas que dicen que $r^n=1$, $s^2=1$, y que $sr=r^{-1}s = r^{n-1}s$, usted puede "mover" a todas las $r$s que se producen en un producto de este tipo en todo el camino a la izquierda, y todas las $s$'s a la derecha, de modo que cada elemento de a $D_{2n}$ puede ser escrita en la forma$r^is^j$, $0\leq i\lt n$ $0\leq j\lt 2$. No sabemos si cada elemento corresponde a uno y sólo uno de ellos, pero sin duda cada elemento corresponde a al menos uno de ellos. Eso significa que $D_{2n}$ tiene, en la mayoría, $2n$ elementos. Si usted puede encontrar un grupo de $G$, generado por los elementos de a $g_1$ $g_2$ tal que $g_1^n=1$, $g_2^2=1$, y $g_2g_1=g_1^{-1}g_2$, y resulta que $G$ tiene exactamente $2n$ elementos, entonces usted sabe que hay un homomorphism de $D_{2n}$ $G$que envía a $r$ $g_1$y $s$$g_2$, por lo que el $G$ será un cociente de $D_{2n}$; ya que estamos suponiendo que el $G$ tiene exactamente $2n$ elementos, y sabemos que $D_{2n}$ tiene más de $2n$ elementos, entonces se puede concluir que el mapa tiene que ser inyectiva y el kernel es trivial, y para que $D_{2n}$ es, de hecho, isomorfo al grupo $G$. Esta es una manera de "darse cuenta", una presentación como un grupo que puede obtener en sus manos.

Edit: tenga en cuenta que por la propiedad atribuido al grupo dada por la presentación, el grupo debe ser generado por $X$; de lo contrario, hay un mapa de $G$ a $\langle X\rangle$ que envía cada $x_i$ a, por lo que obtener dos mapas de $G$ a sí mismo el envío de cada una de las $x_i$ a la identidad, y el mapa compuesto $G\to\langle X\rangle \hookrightarrow G$); pero la definición se requiere que haya un único homomorphism para lograr esto.

Answer 3

En la pregunta

"$r^{n}=s^{2}=1, rs=sr^{-1}$ ...¿por qué es incorrecta la conclusión de que $r=s=1$ ? ... ¿por qué no esta presentación del grupo de describir el trivial grupo"

las palabras clave son "conclusión" y "describir". Usted está en efecto preguntando qué lógica se aplica a las declaraciones acerca de $r$$s$.

La respuesta es que las aserciones acerca de $r$ $s$ se entenderá como válida en este contexto sólo si llevan a cabo en TODOS los grupos. La afirmación "si en un par de elementos del grupo $r$ $s$ satisface la definición de las relaciones de $D_{2n}$, $r=s=1$" es falsa en algunos grupos y la verdad en los demás. Es cierto que en los grupos con ningún subgrupo de orden $2n$, como los grandes grupos cíclicos de primer orden. Es falso que en otros grupos, tales como el diedro grupo de orden 2n, o el grupo de orden 2 donde: $r=1, s=-1$ es un par de la satisfacción de las ecuaciones.

La verdad en todos los grupos es una definición semántica y puede ser sustituido por un equivalente, sintáctico de la definición que da la combinatoria de reglas para hacer válidas las deducciones a partir de la definición de las relaciones. $r=s=1$ no es válido algebraicas consecuencia de las reglas algebraicas. Como en todos los problemas de la lógica, mostrando que algo NO se sigue algunas reglas o axiomas es una cuestión de la construcción de un ejemplo (un modelo) donde las reglas de aplicación, pero la afirmación es falsa. Aquí los modelos son grupos con un par de elementos de a $r,s$ la satisfacción de las relaciones, así que para mostrar lo que no es cierto en la lógica de generadores y relaciones algebraicas enfoque no proporciona una alternativa a la construcción de modelos. Para afirmaciones que hacer seguir a partir de la definición de las relaciones, la algebraicas definición es útil, porque en lugar de la topografía de una posiblemente infinita colección de modelos para demostrar que la afirmación es correcta, se puede realizar un número finito de combinatoria derivación que funciona para todos los modelos.

(Añadido en respuesta al comentario de Matt E sobre las formas normales: mostrar que cualquier elemento puede ser colocado en la forma normal de la siguiente manera a partir de las relaciones algebraicas solo. Sin embargo, el uso de formas normales como de un método de cálculo en el grupo o en la comprensión, usted necesita demostrar que los distintos elementos en el grupo tienen diferentes formas normales. Este es de nuevo el no algebraicas (o no puramente algebraica) problema de mostrar que las relaciones no se sostienen en una estructura, la cual se realiza mediante la construcción de modelos tales como las acciones del grupo en particular de los espacios.)