Teorema intermedio modificado implica continuidad... Contraejemplo a la pregunta de Spivak

Question

Pregunta 13b del capítulo 7 en Spivak del Cálculo (que he sido lentamente de trabajo a través de los últimos meses) dice esto:

'Supongamos que f satisface la conclusión del Teorema del Valor Intermedio, y que f toma cada valor de sólo una vez. Probar que f es continua.'

Lo que yo creo que él se refiere es a que si, por alguna $f$ definida en [a,b] y para todos los $u$ si $f(a)\leq u \leq f(b)$, entonces existe una y sólo una $c$ $[a,b]$ tal que $f(c) = u$. Si esto es cierto, a continuación, $f$ es continua.

Me pasé un par de minutos tratando de probar esto, pero al final creó un contraejemplo'. Ahora me pregunto donde he pasado mal...

$$ f(x) = \begin{cases} x+\frac{1}{2} & \text{if } 0 \leq x \leq\frac{1}{2} \\ 1-x & \text{if } \frac{1}{2} < x \leq 1 \end{casos} $$

$f$ no es continua en a$[0,1]$, pero el IVT definitivamente sostiene a lo largo de este intervalo y, además, no hay una correspondencia 1-1 entre el $x$ valores y $f(x)$ valores por encima de este intervalo.

Donde he ido mal???

Gracias

Answer 1

Creo que esto puede ser una cuestión de interpretación. Tu ejemplo es correcto con la interpretación es forma: su función $f$ toma cada valor en $[0,1]$ exactamente una vez, pero es no continuo en $[0,1].$ pero un interpétation posible de lo que Spivak entiende es que cada vez $a < c < d < b$, $f$ toma cada valor entre $f(c)$ y $f(d)$ exactamente una vez en $[c,d]$ y entonces su ejemplo no sería un contraejemplo a la continuidad de tal un $f.$

Answer 2

Tenga en cuenta que$f(1/4)=3/4$$f(3/4)=1/4$. Ciertamente, $1/2$ entre $f(1/4)$$f(3/4)$. Pero no es $x$ entre $1/4$ $3/4$ a que $f(x)=1/2$. Por lo que su $f$ no satisface el Teorema del Valor Intermedio.

El IVT dice que si $f$ es continua en a $[a,b]$, entonces para cualquier $u$ $v$ tal que $a \le u \le v\le b$, y cualquier $y$$f(u)$$f(v)$, hay un $x$ $u$ $v$ tal que $f(x)=y$. La conclusión de la IVT es la parte después de que el "entonces".

Comentario: Un poco más simple ejemplo de el tipo que usted describe es dado por $f(x)=x$ en $(0,1)$, $f(1)=0$, $f(0)=1$. De nuevo, no satisface a la IVT.

Pregunta $13$(b) puede ser atacado de la siguiente manera. Supongamos que $a \le x <b$. Imaginar una secuencia $x_1,x_2, \dots$ que los enfoques $x$ de forma constante desde la derecha. Si el $f(x_i)$ nunca meneo, la conclusión de la IVT rápidamente nos permite contradecir el "cada uno de los valores sólo una vez". Si el $f(x_i)$ forma monótona secuencia, pero esta secuencia no se $f(x)$, de nuevo se puede utilizar la conclusión de la IVT y la única vez condición para obtener una contradicción.

Answer 3

Entre $1/2-\varepsilon$y $1/2+\varepsilon$ allí no tiene sentido donde el valor de la función es $3/4$, a pesar de $3/4$ entre los valores de $f$ en los puntos (siempre y cuando $\varepsilon$ es lo suficientemente pequeño). Por lo tanto, la conclusión de la IVT no se cumpla con esta función.

Answer 4

Un Consejo: mirar varios gráficos uno es llevado a conjeturar que una función satisface el IVT y tomar cualquier valor a lo más una vez es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Por lo tanto es una buena estrategia empezar por demostrar que el % dado $f$es estrictamente monótono. De esta manera el conjunto de $f$ a considerar para la prueba de continuidad es decididamente restringida.