Calcular $\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{\sin(x)}}$

Question

Calcular $$\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{\sin(x)}}$$

Aquí no tengo ni idea, sólo que evidentemente hay L'hospital.

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Suele ser útil considerar el logaritmo de la expresión en esos límites:

$$\log{\left [ x^{-\sin{x}} \right ]} = -\sin{x} \log{x} $$

$$\lim_{x \rightarrow 0} \sin{x} \log{x} = \lim_{x \rightarrow 0} x \log{x} = 0 $$

El límite en cuestión, por lo tanto, es 1.

EDITAR

Puedo ser un poco más claro en el uso de L'Hopital en el límite anterior:

$$\lim_{x \rightarrow 0} x \log{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log{x}}{1/x} $$

Ahora usa L'Hopital:

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log{x}}{1/x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} (-x) $$

Answer 2

$$ x^{-\sin x} = \left( e^{\ln(x) } \right) ^{-\sin x} = e^{-\sin x \ln (x)}$$

Dado que esto es de carácter indeterminado, podemos aplicar aquí la regla de L'hopital. $$ \large \lim_{x \to 0} x^{-\sin x} = e^{\lim_{x \to 0} \left( \frac{-\sin x}{\frac{1}{\ln x}} \right)}$$

Answer 3

Las cosas son sencillas si utilizamos los límites elementales $\lim_{x\to 0}x^x=1$ y $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ $$\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{\sin(x)}}=\lim_{x\to 0} x^{\displaystyle x\frac{\sin(x)}{x} (-1)}=1$$

Q.E.D.

Answer 4

He aquí un enfoque que no utiliza ni la regla de L'Hospital ni los logaritmos. En su lugar, se basa únicamente en desigualdades estándar de la geometría junto con el Teorema de Squeze.

Para ello, procedemos a recordar que para $x\ge 0$ la función seno satisface las desigualdades

$$x\cos x\le \sin x\le x \tag 1$$

Desde $(1)$ es fácil demostrar que para $0\le x\le 1$ tenemos

$$x\sqrt{1-x^2} \le \sin x\le x \tag 2$$

Entonces, utilizando $(2)$ tenemos para $0\le x\le 1$

$$\left(\frac1x\right)^{x\sqrt{1-x^2}}\le \left(\frac1x\right)^{\sin x}\le \left(\frac1x\right)^{x} \tag 3$$

Utilizando $\lim_{x\to 0^+}x^x=1$ en $(3)$ junto con el Teorema del Apretón revela

$$\lim_{x\to 0^+}\left(\frac1x\right)^{\sin x}=1$$