Cómo encontrar el mayor número en la secuencia de$$ \sqrt{50},2\sqrt{49},3\sqrt{48},\cdots 49\sqrt{2},50$$
Estoy interesado en un "cálculo" libre de enfoque. Gracias,
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El $n$-ésimo término de la secuencia es $n\sqrt{51-n}=\sqrt{n^2(51-n)}$. Así que la pregunta es: para que $n$ ($1\le n\le 50$), qué $n^2(51-n)$ convertido en el más grande?
Si quieres evitar el cálculo, puede utilizar el AM-GM de la desigualdad: si $x,\,y,\,z\ge 0$, $$\frac{x+y+z}{3}\ge\sqrt[3]{xyz},$$ con igualdad si y sólo si $x=y=z$.
Si establecemos $x=y=n/2$$z=51-n$, se obtiene: $$\frac{51}{3}\ge \sqrt[3]{\frac{n}{2}\cdot\frac{n}{2}\cdot (51-n)},$$ con igualdad si y sólo si $n/2=51-n$ o $n=34$.
De ello se desprende que $n^2(51-n)\le 4\cdot 17^3$ o $\sqrt{n^2(51-n)}\le 2\cdot 17^{3/2}$, donde la igualdad se mantiene para $n=34$.
Per Hornshøj-Schierbeck
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Me gusta el AM-GM argumento mucho, pero he aquí otra más abajo-a-tierra de la solución.
Escribir $a_n=n\sqrt{51-n}$, $1\le n\le 50$. Todo a la vista es positivo, por lo $a_n\le a_{n+1}$ si y sólo si $$ a_n^2\le a_{n+1}^2\Leftrightarrow n^2(51-n)\le (n+1)^2(50-n). $$ Esta última desigualdad se simplifica a la desigualdad cuadrática $-3n^2+99n+50\ge0$. El argumento de esta función es una parábola de apertura hacia abajo. Por lo tanto, la desigualdad se cumple entre los ceros $n_1\approx-0.5$$n_2\approx 33.5$.
Hemos demostrado que $a_{n+1}$ es mayor que $a_n$, cuando se $1\le n\le 33$, $a_{n+1}$ es menor que $a_n$, cuando se $n\ge 34$. Por lo tanto, podemos concluir que $a_{34}$ es la más grande de este lote.
XXX
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Me gustaría aplicar el cálculo siempre que sea posible. Así que, aquí está mi tratando de la OMI (esto no es una solución mejor):
Considere la función $f(x)=x^2(51-x)$$[1,50]$. Luego como de costumbre, $f'(x)=0\Rightarrow x=0,34$ $f''(0)>0,f''(34)<0$ implica $f$ tiene un único máximo global en $x=34$ y el mínimo global en $x=0$. Así que,...
