Prueba de que el gradiente es ortogonal al conjunto de niveles

Question

Cuando probamos que el gradiente de una función $f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ es ortogonal a los conjuntos de nivel de la función $f(\vec{x}) = c$ para alguna constante $c$, mi profesor fue bastante explícito al afirmar que se necesita el teorema de la función implícita (IFT) para la prueba sin dar una razón clara por qué. Sin embargo, en todas las otras pruebas que he visto del teorema, el teorema de la función implícita no se utilizó ni se mencionó. Esto me ha llevado a pensar por qué exactamente se invocó el IFT en nuestra prueba o si es necesario en absoluto.

Todas las pruebas comienzan tomando cualquier curva diferenciable, parametrizada en $t$, que reside en el conjunto de nivel y pasa por el punto de interés $\vec{a}$. La regla de la cadena garantiza que la tangente a la curva es ortogonal al gradiente en $\vec{a}$. Dado que esto sucede para cualquier curva, podemos decir que el gradiente es ortogonal a la superficie. Estoy pensando que el IFT es necesario para probar que tal curva realmente existe, pero no estoy seguro de cómo exactamente lo hace.

Si alguien puede arrojar algo de luz sobre el tema, sería genial. Gracias.

Answer 1

Si $\nabla f({\bf x}_0) \neq {\bf 0}$, entonces el Jacobiano de $f$ (es decir $\nabla f$) tiene rango máximo en ${\bf x}_0$. Esto significa que se puede aplicar el teorema de la función implícita para que $\{ {\bf x} \in \mathbb{R}^{n} \,|\, f({\bf x})={\bf c} \}$ sea una subvariedad de $\mathbb{R}^n$. Esto significa que alrededor de cada punto en el conjunto de niveles hay un difeomorfismo entre un vecindario de ese punto y un conjunto abierto en $\mathbb{R}^{n-1}.

En este punto, sabemos que el conjunto de niveles tiene un espacio tangente bien definido. Hay $n-1$ curvas cuyos vectores tangentes son linealmente independientes. Luego podemos aplicar el argumento estándar a cada una de estas curvas. Utilizando la regla de la cadena, tenemos $f({\bf r}(t))={\bf c}$ $\Rightarrow$ $\nabla f({\bf r}(t)) {\bf \cdot} {\bf r}'(t) = 0$. Por lo tanto, el gradiente es ortogonal a cada tangente y, por lo tanto, es ortogonal al conjunto de niveles.

Así que tienes razón. El teorema de la función implícita se está utilizando para garantizar que las curvas que necesitamos realmente existan.

Editar: Algunos detalles adicionales.

Tomemos un punto en la superficie de nivel, digamos ${\bf x}_0 = (x_1,\dots,x_{n-1},y_0)=({\bf z}_0,y_0)$. Supongamos que $\nabla f({\bf x}_0) \neq 0$. Para mayor comodidad, supongamos que el último componente del gradiente es distinto de cero.

Entonces existe una región $D$ en $\mathbb{R}^{n-1}$ de puntos "cercanos" a ${\bf z}_0$ tal que $g(t_1,\dots,t_{n-1})$ es una función de $D$ a $\mathbb{R}$ y $f(t_1,\dots,t_{n-1},g(t_1,\dots,t_{n-1}))={\bf c}$ para todos los $(t_1,\dots,t_{n-1})$ en $D$ [Esto es el teorema de la función implícita en acción. Nos permitió "resolver" la última variable en términos de las otras.] Ahora podemos definir ${\bf r}_i(t)=(x_1,\dots,x_{i-1},t,x_{i+1},\dots,x_{n-1},g(x_1,\dots,x_{i-1},t,x_{i+1},\dots,x_{n-1}))$. Tenemos ${\bf r}_i(x_i)={\bf x}_0$ y $f({\bf r}_i(t))={\bf c}$. Esto nos da $n-1$ curvas en nuestro conjunto de niveles.

Answer 2

Sea $f$ una función escalar de $N$ variables reales, continuamente diferenciable alrededor de un punto $p$. Sea $n := (\nabla f)(p)$ el gradiente de $f$ en $p$. Considera la función $F(x,t) := f(x+tn)$, donde $t$ es real. Supongamos que $f(p)=c$ para algún $c$ real fijo. Por lo tanto también $F(p,0)=c$.

Supongamos que el gradiente $n$ de $f$ en $p$ es distinto de cero. Entonces $dF/dt(p,0)=n \cdot n$ es diferente de cero. Por el teorema de la función implícita existe una función $g$ continuamente diferenciable en una bola abierta $B$ alrededor de $p$ tal que $F(x,g(x))=c$ para todo $x \in B$. Usando la versión apropiada del teorema de la función implícita, podemos asumir además que $g(p)=0$.

Sea $u$ un vector perpendicular a $n$. Define la trayectoria $P(s) := p+su + g(p+su)n$, que satisface $P(0)=p$. Como se puede verificar, $dP/ds(0)=u$, $P(s)$ está en la bola $B$ para valores pequeños de $s$, y $f(P(s))=c$ por construcción.

Así hemos demostrado: dado que el gradiente es distinto de cero, para cualquier vector $u$ perpendicular a este, podemos construir una trayectoria diferenciable y no constante en el conjunto de nivel de $f$, y esta trayectoria discurre a lo largo de $u$. En particular, dado cualquier par de vectores perpendiculares, las trayectorias correspondientes serán perpendiculares. Esto muestra que el conjunto de nivel es de dimensión $(N-1)$, y ortogonal al gradiente.

pd. Se podría establecer una parametrización local del conjunto de nivel de la siguiente manera. Define la función vectorial $F(x, (t, y)) = [f(x + tn); y - U (x-p)]$, donde $U$ es una matriz $(N-1) \times N$ que contiene una base ortonormal para el complemento ortogonal de $n$ en sus filas, $y$ es un vector $(N-1)$. El teorema de la función implícita da una función $(t, y) = G(x)$ que es continuamente diferenciable en un entorno de $p$. Su Jacobiano en $x=p$ puede verificarse que es invertible. Por lo tanto, $G^{-1}$ existe (localmente), y el Jacobiano de $y \mapsto G^{-1}(t, y)$ es inyectivo. Además, la derivada de $y \mapsto f(G^{-1}(t, y))$ se anula, demostrando que el conjunto de nivel tiene dimensión $(N-1)$.

ppd. Probablemente se pueda hacer lo mismo con $F((t, y), x) = [f(x + tn); y - U (x-p)]$.