La noción de Henselian anillo (y Henselization) es bastante sutil, y ha aparecido sólo en los años cincuenta con la escuela Japonesa (Azumaya, Nagata). Es distinto de la noción de Henselian anillo introducido en los años treinta por Hensel, el cual necesita de una topología y, por ejemplo, es bien adaptado para completar Noetherian local de los anillos. Más tarde, en la década de los sesenta, Grothendieck ha desarrollado estas ideas en todos los casos por la necesidad de étale topología.
Su interés es más bien específico a la geometría algebraica, porque en otras geometrías (geometría diferencial, la compleja geometría analítica) el local anillos de variedades son automáticamente Henselian, lo que significa que el teorema de la función inversa (o como me gusta llamarlo, el "local inversa teorema") es válida.
El punto principal es que, si empezamos con un étale mapa de $f: X \to S$ (afín) esquemas, visto como un buen algebraicas sustituir a la noción de un local de isomorfismo en el complejo de la analítica de configuración, a continuación, $f$ no es necesariamente ${\color{red} {\text{finite}}}$. Es sólo cuasi-finito (las fibras son finitos). El delicado Principal Teorema de Zariski, dice $X$ puede ser comprendido como un proceso abierto subscheme de algunos $Y$ finito $S$. Pero en general, uno no puede esperar que $Y$ ambos ${\color{red} {\text{finite}}}$${\color{red} {\text{étale}}}$$S$. Así, por esta precisa razón, no me animo a pensar de Henselization en términos fundamentales de los grupos, que se ocupan de finito étale morfismos. Mis disculpas a Alex Youcis.
Si $s$ es un punto de $S$ $x$ es un punto de $X$ sobre $s$ con trivial residuo de extensión, el defecto de $(S, s)$ a ser Henselian refleja la diferencia entre el anillo local de $S$ $s$ y el anillo local de $X$$x$. Como étaleness $S$ se conserva bajo de los productos de fibra, mapas locales de este tipo a construir en un espacio natural de manera directa el sistema de filtrado y directa el límite es, por así decirlo, tautologically un ${\color{red} {\text{Hensenlization}}}$ $(S, s)$ que satisface el inverso del teorema de étale mapas locales con una mínima residual extensiones.
En general, no hay ningún otro conveniente descripción de la Henselization, haciendo que la noción abstracta. Sin embargo, si vamos a empezar con un local ${\color{red} {\text{normal}}}$ ${\color{red}{\text{excellent}}}$ Noetherian anillo de $A$, con la máxima ideal $\mathfrak{m}$, y si denotamos por a $A\text{^}$ a la finalización de $(A, \mathfrak{m})$ y $\mathfrak{m}\text{^}$ su ideal maximal, entonces $A\text{^}$ es todavía normal y podemos ver que la integral de cierre de $B$ $A$ en la terminación $A\text{^}$ de $A$. Por otra parte, si localizamos $B$ en el pull-back de $\mathfrak{m}\text{^}$ para obtener un anillo local $C$, uno puede mostrar $C$ es de hecho un Henselization de $A$. Ha sido el punto de partida de Nagata del enfoque.
Para obtener el estricto Henselization es sólo una cuestión de aritmética, donde se aumenta el residuo de campo hasta su cierre separable. La estricta Henselization $A(sh))$ $A$ es integral y el ind finito étale sobre el Henselization $A(h)$. Por lo tanto, esta última etapa $A(h) \to A(sh)$ se ve como un ind étale cubierta, pero el mapa de $A \to A(h)$ está fuertemente diferentes en la naturaleza.
Hola Simone, no hay necesidad de pedir disculpas, estoy agradecido por su bonita respuesta! Dicho esto, creo que, tal vez, hubo un poco de confusión como el punto de mi comentario. Yo no estaba diciendo, o al menos no tenía la intención de decir, que el ser Henselian fue equivalente, incluso de forma intuitiva, a la declaración sobre los grupos que he hecho. Más bien, estaba pensando de esta declaración fundamental de los grupos para ser sintomático de lo que hace Henselian anillos Henselian. Un poco mejor forma de poner esto podría ser que los puntos de la (pequeña) étale topos son los espectros de las estrictamente Henselian anillos. Por lo tanto, pensamos estrictamente Henselian anillos como el 'topológicamente trivial' objetos cuando se piensa en términos de la étale topología. Así, desde Henselian anillos (de nuevo, más o menos) como estrictamente Henselian anillos con topológico obstrucción añadido sólo en el punto de cierre. Esto me causa, de nuevo, quizás incorrectamente, intuit Henselian local anillos como "topológicamente trivial barrios de puntos'. Yo estaría feliz de saber si crees que he cometido algún error en mi forma de pensar! Si es así, yo estaría muy agradecido por cualquier intuición de que podría haber más allá de la construcción de la Henselization.
Uy, no se puede cambiar mi último comentario ahora, pero cuando yo digo 'topológicamente trivial barrios de puntos' quiero decir 'puntos' en el sentido de que el punto de cierre $(\text{Spec}(A/\mathfrak{m}))$ no puntos en el topos de la teoría de la sensación.
Pensar en estricto Henselization como el natural de la localización en el contexto de étale topología es ciertamente el bien y el moderno punto de vista y fue la motivación de Grothendieck. El Henselization es un intermedio de localización que reduce el estudio local de étale mapas a ${\color{red}{\text{finite}}}$ étale.
