¿Cómo puedo demostrarlo?
La longitud del arco es proporcional al tamaño del ángulo.
Todos los libros utilizan este hecho para explicar los radianes y la ecuación fundamental de la longitud de arco $s = r\theta$ . Sin embargo, ningún libro demuestra este hecho.
¿Es este hecho un axioma, una ley natural como $\pi$ y las proporciones de los lados del triángulo?
¿Puedo probar lo anterior? ¿O es algo que se debe aceptar sin más?
¿Puedo demostrar lo anterior? ¿O es algo que debe aceptar sin más?
Por supuesto, no debe "aceptarlo" sin más. Una prueba formal completa sería un poco más de lo que estoy dispuesto a dar, pero unas cuantas proposiciones bastante convincentes dan un buen argumento.
A partir del segundo punto, obtenemos
$$l(k\cdot\alpha) = k\cdot l(\alpha)$$
para $k \in \mathbb{N}$ directamente, y subdividiendo, obtenemos
$$l\left(\frac{k}{m}\alpha\right) = \frac{k}{m}l(\alpha)$$
para $k \in \mathbb{N},\; m \in \mathbb{Z}^+$ por lo que la proporcionalidad para los múltiplos racionales del ángulo $\alpha$
Entonces, para los irracionales $t > 0$ obtenemos
$$\sup \{q\cdot l(\alpha)\colon q \in \mathbb{Q}, 0 < q < t\} \leqslant l(t\cdot \alpha) \leqslant \inf\{q\cdot l(\alpha)\colon q \in \mathbb{Q}, q > t\}$$
de la monotonicidad.
No estoy seguro de que esto sea completamente cierto, pero estoy seguro de que otros me corregirán si me equivoco.
Consideremos un círculo de radio R. En forma polar, esta ecuación es $r(\theta)=R$ . La ecuación de la longitud de arco es la siguiente:
$L = \int_0^{\theta} \sqrt {r^2+ (\frac {dr} {d\theta})^2 } d\theta$
Sabemos que r=R y dr/d $\theta$ es 0, por lo que la integral se convierte en
$L = \int_0^{\theta} R d\theta$
L= $\theta$ R
Me gusta esta respuesta, porque es precisamente como yo enfocaría el problema. Sin embargo, como Parth Tahakkar insinúa en su comentario, el problema con este enfoque es ¿cómo se obtiene la ecuación de la longitud de arco? Creo que la ecuación ya presupone las definiciones básicas relativas a los arcos subtendidos por los ángulos.
Debería ser fácil aceptar que la longitud es un atributo aditivo. Es decir, si dos segmentos $\ell_1, \ell_2$ son adyacentes, entonces la longitud de ambos pegados uno tras otro es $l(\ell_1 \cup \ell_2) = l( \ell_1) + l( \ell_2)$ siempre que no se superpongan en un conjunto de medida mayor que cero. No es diferente para dos trozos de arco que están al lado del otro. Entonces para cualquier unión de arcos, uno tras otro $l (\cup_{i=1}^n s_i)=\sum l(s_i)$ y si todos los arcos tienen el mismo ángulo $\theta$ deben tener la misma tener la misma longitud $l(S_{\theta})$ (todos los arcos con el mismo ángulo son congruentes). Así que $l( \cup_{i=1}^n s_{\theta_i}) = n l(s_{\theta})$ . Ahora, por el momento piensa en un ángulo $\theta=2 \pi/n$ . Entonces para cualquier ángulo de la forma $\theta=2\pi/n$ tenemos $n \theta = 2 \pi$ y luego: \begin {Ecuación} l( \cup_ {i=1}^n S_{ \theta ,i}) = n l(S_{ \theta })= l(S_{2 \pi }) = 2 \pi r, \end {ecuación} donde aceptamos que toda la circunferencia es $2 \pi r$ y $\cup_{i=1}^n S_{\theta,i}$ es la unión de $n$ arcos congruentes en el círculo. A continuación, eliminamos el $i$ índice después de pasar a la suma ya que los arcos congruentes tienen longitudes iguales.
Desde aquí \begin {Edición} l(S_{ \theta })= \frac {2 \pi r}{n} = \theta r. \end {Ecuación}
Esto es bueno para $\theta$ de la forma $2 \pi /n$ . Desde $l$ es aditivo entonces esto debería ser bueno para cualquier ángulo de la forma $2 \pi p /q$ con $p$ y $q$ en $\mathbb{Z}$ con $q \ne 0$ . Si $2 \pi/\theta$ es irracional, entonces este irracional es un límite de una secuencia de números racionales, todos los cuales proporcionan la misma ecuación $l(S_{\theta}) = \theta r$ por lo que en el límite esta ecuación también es válida, ya que el operador de longitud es continuo.
De manera más general, una función $f$ es lineal si:
Es fácil demostrar que para las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , la homogeneidad implica la aditividad, por lo que para demostrar la linealidad basta con demostrar la homogeneidad. En espacios más grandes (funciones de varias variables) esto no es cierto. El contraejemplo típico es un filtro de mediana.
La pregunta es: ¿cuándo 2 implica 1, para funciones de una variable?
La respuesta es la continuidad. Si la función es continua 2 implica 1 y la prueba es casi una repetición de la prueba anterior. El hecho interesante y casi increíble es que si se elimina la hipótesis de continuidad, la gráfica de una función $f :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es denso en $\mathbb{R}^2$ . Es decir, cualquier punto de $\mathbb{R}^2$ está tan cerrado como queramos a la gráfica de $f$ . Esto se demuestra en el siguiente enlace:
Funciones aditivas de una sola variable
¿Por qué es importante en este problema? Si la función es lineal es de la de $f(x)=a x$ con alguna constante de proporcionalidad $a$ . Ya que para la función arco $f(2 \pi)= 2 \pi f(1) =2 \pi r$ entonces $f(1)=r$ , aquí 1 es unidades de radianes, y BTW, esta es la definición o un radián, nótese que esta definición no da cuenta de la prueba que se muestra aquí. Entonces $f(\theta)=\theta f(1) = r \theta$ .
Que la función de longitud de arco $f=l$ es continua, se puede demostrar fácilmente a partir de la monotonicidad y aditividad de la longitud de arco .
Es interesante que este problema sea similar al del área de una luna (o biángulo) en una esfera siendo directamente proporcional a $\theta$ con $2 r^2$ siendo la constante de proporcionalidad y $\theta$ es el ángulo diedro de la luna. Este problema (de la luna) se suele plantear como un postulado o se remite a los Elementos de Euclides para su demostración. Por supuesto, cuando decimos Euclides no podemos pensar en argumentos formales como los utilizados anteriormente.
Es una relación lineal. $ s = R \theta$ . $R$ es el cociente de estas dos cantidades. Hay $nothing$ que probar aquí. Es un $definition$ en la geometría plana euclidiana. Las definiciones no sirven para demostrar.
En la geometría elíptica no euclidiana el arco es menor que $ \theta R$ y en la geometría hiperbólica es más que $ \theta R$ donde los arcos $s$ se miden en superficies doblemente curvas y $\theta$ entre líneas geodésicas de coordenadas polares principales.
@Narasimhan : Puedes llamarlo definición pero entonces deberías demostrar que está "bien definido". Es decir, que hay una proporcionalidad entre $s$ y $\theta$ en el círculo. ¿Qué tal si consideramos una elipse en lugar de un círculo? ¿Puedo decir que $s = R \theta$ ? No puedo decir simplemente $s=R \theta$ a menos que demuestre que tiene sentido, y esto se puede demostrar formalmente.
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Euclides lo demostró en sus Elementos, Libro VI, Proposición 33.