Función de Green para el Laplaciano en $S^1 \times S^2$

Question

Como se indica en el título, estoy buscando encontrar la función de Green para el Laplaciano en $S^1 \times S^2$ . ¿Se conoce esta función? Si no es así, ¿alguien tiene una aproximación para construir dicha función? Mi primera idea es combinar la función de Green en $S^2$ de una manera agradable con algunos $1$ -función periódica en $\mathbb{R}$ pero no he tenido mucha suerte.

Answer 1

Esta es una forma de obtener una representación como serie. Funciona en una situación más general. Sea $M$ et $N$ sean variedades riemannianas cerradas y lisas. Denotemos por $\{\varphi_i\}_{i=1}^\infty$ , $\{\psi_j\}_{i=j}^\infty$ las funciones propias con valores propios $\lambda_i$ et $\mu_j$ para los operadores de Laplace en $M$ et $N$ respectivamente. Sea $L_2$ las normas de las funciones propias sean iguales a uno para que las funciones delta puedan expandirse como $$\delta_M(x-x')=\sum_{i=1}^\infty \varphi_i(x) \varphi_i(x'),$$ $$\delta_N(y-y')=\sum_{i=1}^\infty \psi_i(y) \psi_i(y').$$ Entonces la función de Green para $M$ viene dada por la serie $$G_M(x,x')=\sum_{i=1}^\infty \frac{\varphi_i(x) \varphi_i(x')}{\lambda_i}$$ y análogamente para $N$ . La función de Green para $M\times N$ es $$G_{M\times N}(x,y,x',y')= \sum_{i,j=1}^\infty \frac{\varphi_i(x)\varphi_i(x') \psi_j(y)\psi_j(y')}{\lambda_i+\mu_j}$$ desde $$\Delta_{x,y} G_{M\times N}(x,y,x',y')= \sum_{i,j=1}^\infty \varphi_i(x)\varphi_i(x') \psi_j(y)\psi_j(y')=$$ $$\delta_M(x-x')\delta_N(y-y')=\delta_{M\times N}(x-x',y-y').$$ Así que hay que combinar las funciones propias en lugar de las propias funciones de Green.

Para su caso $\varphi_i$ son cosenos (hasta una constante) y $\psi_j$ son armónicos esféricos. La posibilidad de obtener una forma cerrada para esta serie me parece bastante escasa.