Podría esta extraña visión de ayudar a explicar parte de la dificultad en la demostración de la Conjetura de Collatz?

Question

Antecedentes: he Aquí un curso intensivo sobre la Conjetura de Collatz. Básicamente, se debe tomar un número y si es que aun se divide por dos. Si un número es impar, se multiplica por tres y, a continuación, agregar uno. Sigue haciendo esto hasta que el número se convierte en 1. La conjetura dice que la realización de esta operación para cualquier número se traduce finalmente en 1. Una nota rápida sobre los números utilizados, deben ser positivo distinto de cero enteros. Como se ha señalado por Gottfried, hay contradicciones de otra manera. Afirmando lo anterior en forma matemática,

$$n_{t+1} = \begin{cases} n_t/2, & \text{if %#%#% is even} \\ 3 \cdot n_t+1, & \text{if %#%#% is odd} \end{casos}$$

Lo que he encontrado: Aquí está lo que fue una especie de sorpresa para mí. Si usted realice $n_t$ donde $n_t$ es impar, entonces usted va a obtener siempre un número par. Sin embargo, $3 \cdot x+1$ no siempre dan como resultado un número impar, si $x$ es incluso. Mi suposición es que, si uno puede averiguar cuántas veces usted tiene que dividir un número por dos para obtener un número impar, el avance podría ser hecho en la demostración de la conjetura. Sin embargo, cuando fui a buscar a ${x \over 2}$ donde $x$ es un número y $v_2(e)$ es el número de veces que se puede dividir el número por 2, he descubierto un fractal como el patrón! Si se hace una gráfica de los valores de esta función, se obtiene,

$e$$

El primer valor es $v_2(e)$. El segundo es $$1,2,1,3,1,2,1,4,1,2,1,3,1,2,1,5,1,2,\ldots$, y así sucesivamente. La secuencia corresponde a la secuencia de A001511.

Si define un L-sistema ,

$v_2(2)$$

Donde $v_2(4)$ es un gráfico que se mueve a la derecha comando, $$C_n \rightarrow C_n (+)^{n-1} P (-)^{n-1} C_n$ es un movimiento de comando, $P$ es un movimiento hacia abajo de comando, y $+$ es la cadena. Los comandos añadir/restar de un contador. La trama de comando de la realidad de la parcela el valor, y mover la variable independiente. Los valores de $-$ puede ser extraído de $C_n$ "lectura" $v_2(e)$ izquierda a derecha y añadiendo $C_n$. Los exponentes, denotan movimiento arriba/abajo $C_n$ veces. Gráficamente, tenemos,

Pregunta: Ya que esta función $1$ tiene un auto-similares (fractal) de la naturaleza, eso no significa que el Collatz Problema está relacionado con los fractales? Este podría ser utilizado para estudiar el problema? Desde los fractales son inherentemente complejas para calcular en forma lineal, esto podría explicar por qué la conjetura es tan difícil de probar? Creo que explica algunos de los complejos de comportamiento de la recorre bajo el sistema de Collatz.

Addendum:

Dado un número impar, el siguiente número impar en el Collatz iteración está dada por,

$n-1$$

Desde cualquier número de la fed en la iteración se reduce a un número impar en virtud de la iteración, sólo necesitamos considerar los números impares. Por lo tanto, la conjetura de Collatz es equivalente a la conjetura de que el Sistema Dinámico $v_2(e)$ tiene uno y sólo un punto fijo y que este punto fijo es $$(1) \quad o_{t+1}={{3 \cdot o_t+1} \over {2^{v_2(3 \cdot o_t+1)}}}$ y atractivo. Además, la cuenca de atracción de este punto fijo es el conjunto completo de resultados positivos de los números impares. Ahora por fin podemos ver la importancia de la auto-similitud de $(1)$. Su altamente compleja resultados del comportamiento inusualmente un complejo comportamiento del Sistema Dinámico.

Answer 1

Creo -aunque el problema tiene algo de "fractal" o "auto-similar a la" estructura - no hay (al menos) un aspecto más de ser mirado.

Considere el problema relacionado con el lugar donde insertar "$3x-1$""$3x+1$" . (Esta es también simplemente mirando los números enteros negativos en el original Collatz problema).
Usted tendrá una estructura muy similar, de nuevo "fractal" buscando. Pero ahora vas a tener (al menos) 3 ciclos.

Así que debemos introducir uno más de la propiedad que nos permite distinguir entre un "1 existente ciclo de" fractal (con la $3x+1$) y un "3 ciclos diferentes que existen" fractal (con la $3x-1$) problema.

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Lo que creo que ayuda es que aquí, a mirar a la inversa de la iteración.

Para el original de Collatz-problema que esto significa: a partir de $x_0=1$ podemos construir todos los números positivos por la iterativo regla de $$ x_{k+1,m} = {x_k \cdot 2^m - 1 \over 3} \text{for all $m$ where this is possible} $$ (sólo define más o menos) lo $x_0=1$ define de alguna manera la raíz de donde una madre, una infinidad de ramas y hojas puede ser construido - y con sus subidas y caídas de llegar a todos los números positivos.

Pero para el $3x-1$-problema (el Collatz en los enteros negativos) esto significa: necesitamos 3 raíces, y cada una de las $3$ raíces construye su propio árbol con sus propios conjuntos infinitos de ramas y hojas - con sus propios levantamientos y cae, pero no se superponen y todos 3 los árboles son necesarios para cubrir/construir todos los negativos (en el Collatz-problema) números!

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Después de eso, la cuestión de la L. Collatz podría ser especificada: "es cierto, que en los números positivos de una raíz que es suficiente, mientras que en los números negativos necesitamos $3$ raíces (incluso parcialmente organizada en ciclos) para la construcción de todos (negativo) de los números?"

Así que el "fractality" solo no basta; necesitamos también una explicación a la pregunta de por qué el conjunto de los números positivos necesita sólo una raíz y no -por ejemplo- tres como en la $3x-1$ problema.

Answer 2

Como se ha señalado en los comentarios, esto se llama el $2$-ádico de valoración de $n$ y se observa como $v_2(n)$. En particular, si tomamos un poco de $n<2^k$ podemos notar la identidad: $$v_2(n)=v_2(2^k-n)=v_2(2n)-1$$ lo que básicamente nos dice que la función, en el intervalo de $(0,2^{k+1})$ se compone de dos copias de sí mismo a escala de la mitad de la $x$-eje y traducido $1$ (uno de los ejemplares se refleja de acuerdo con la anterior identidad, pero la reflexión es a lo largo de una simetría de la función). Junto con el hecho de que $v_2(2^k)=k$ esto define la función, así como explica su naturaleza fractal.

Algo que usted no ha notado, pero que también es cierto, es que si tenemos en cuenta el mapa $$f(x)=\begin{cases}\frac{3x+1}2&&\text{if }x \text{ is odd}\\ \frac{x}2 &&\text{if }x \text{ is even}\end{cases}$$ que es a menudo la forma de la conjetura de Collatz se expresa*, entonces podemos obtener secuencias de números impares. De hecho, observando que $$\frac{3x+1}2=\frac{3}2(x-1)+1$$ nos encontramos con que la iteración de que la función $n$ veces a partir de $x$ da $\left(\frac{3}2\right)^n(x-1)+1$ por lo que el número de veces que llegamos a los números impares es $v_2(x-1)$ bajo esta definición. Cabe señalar que el uso de ambos "atajos" para definir: $$\hat f(x)=\begin{cases}\left(\frac{3}2\right)^{v_2(x-1)}(x-1)+1&&\text{if }x \text{ is odd}\\\frac{x}{2^{v_2(x)}}&&\text{if }x\text{ is even}\end{cases}$$ entonces es un resultado de Simón y De Weger que este mapa no tiene ciclos de longitud $2\times 68$ o menos (sobre los enteros positivos).

Me gustaría sugerir que la aparición de la 2-ádico de valoración no sugieren un fractal de la naturaleza del problema en sí, excepto para expresar el hecho de que el problema se relaciona, de alguna manera, a la factorización, donde estas estructuras surgen de forma natural. Realmente, lo que nos preocupa es la aparición de los dos $v_2(x)$$v_2(x-1)$. Esto sugiere que nos preocupa la factorización tanto de $x$ $x-1$ (pero la relación de estos factorizations no se entiende bien). También sugiere una sensibilidad a las condiciones iniciales - en el primer $f$ me dio, podemos ver que si $n$ será reducido a la mitad muchas veces antes de golpear un número impar, entonces $n+1$ se incrementa muchas veces antes de golpear un número par, por lo que el mejor y el peor de los casos, están uno al lado del otro.

(*Una de las principales razones por qué esto es un favorito de la expresión es que si elegimos algunos $k$ y alguna secuencia de paridad (par/impar), entonces la parte de los números positivos $n$ tal que $n,\,f(n),f^2(n),\,\ldots,\,f^{k-1}(n)$ coincide con la secuencia de las correlaciones es asintóticamente $\frac{1}{2^n}$. En particular, por lo tanto, podemos imaginar que se elija al azar a multiplicar por $\frac{3}2$ o $\frac{1}2$ a cada paso que iba a decirle a $f$ debería estar haciendo cosas más pequeñas cuando se aplica muchas veces.)